24.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.

ДУ 1-го порядка имеет общий вид

(2)

или вид

, (3)

если уравнение (2) можно разрешить относительно .

Решение уравнение (3), содержащее произвольную постоянную , т.е. имеющее вид

,

называется общим рядом этого уравнения. Иногда решение получается в неявной форме или . Такое решение называют общим интегралом уравнения (2). Решение, которое получается из общего при некотором фиксированном значении произвольной постоянной , называется частным решением. Условие, что при функция должна равняться числу , называется начальным условием. Начальное условие даёт возможность выделить из общего решения частное решение.

24.2.1. Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение вида

(4)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнение (4) можно записать в виде

,

.

Делим обе части уравнения на .

Интегрируя обе части, получаем общий интеграл уравнения (4):

.

24.2.2. Однородные уравнения.

Функция называется однородной измерения , если имеет место тождество

Уравнение называется однородным ДУ 1-го порядка, если функции и  однородные функции одного и того же измерения.

С помощью подстановки , где  некоторая новая искомая функция от , однородное уравнение производится к уравнению с разделяющимися переменными.

24.2.3. Линейные ДУ 1-го порядка.

Уравнение

называется линейным ДУ 1-го порядка.

Для решения используют подстановку , где  новая неизвестная функция, выбирают специальным образом.

,

.

Функцию выбирают так, чтобы .

25.1. Интегрируемые типы ДУ второго порядка.

Общий вид ДУ второго порядка

Общее решение этого уравнения содержит две независимые произвольные постоянные и . Если заданы начальные условия , при , то из системы

можно, вообще говоря определить постоянные и и найти тем самым частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным уравнениям.

Рассмотрим некоторые случаи, когда уравнение второго порядка решается применением операций неопределённого интегрирования.

1. Пусть

Интегрируя, получим

.

Интегрируя ещё раз, получим

,

где и  произвольные постоянные.

2. Пусть . Положим . Тогда .

Следовательно, исходное уравнение принимает вид .

Разделяя переменные, получим .

Интегрируя последнее уравнение, находим

или

,

Разделим переменные

.

Тогда

.

3. Пусть . Полагаем . Тогда и данное уравнение принимает вид .

Разделяя переменные и интегрируя, последовательно будем иметь

,

.

Определив из этого уравнения величину , путём вторичного интегрирования можно найти и .