Чебышевская аппроксимация задается частотным коэффициентом передачи мощности следующего вида:

,

где ε – коэффициент неравномерности характеристики в полосе пропускания, который задается в пределах от 0 до 1;

Т_n – полином Чебышева п-ой степени, который может быть определен из рекуррентного соотношения:

T_n(x) = 2xT_n-1(x) – T_n-2(x),

при этом T₀(x) = 1 , T₁(x)=x.

Полиномы Чебышева обладают следующим свойством: среди всех полиномов n-й степени с одинаковыми коэффициентами при старшей степени аргумента, они меньше всего отклоняются от нуля для ; при они достигают резкого увеличения своих значений.

Полюса передаточной функции для Чебышевского фильтра определяются следующим образом:

1. Необходимо вычислить вспомогательный параметр:

2. Найти полюса для фильтра Баттерворта соответствующего порядка.

3. Переход к полюсам чебышевского фильтра осуществляется в соответствии с выражениями:

В отличие от полюсов фильтра Баттерворта полюса фильтра Чебышева располагаются не на окружности, а на эллипсе, но для передаточной функции отбираются они по тому же принципу.

Реализация нч-фильтров

Для реализации принципиальной схемы фильтра используется так называемый структурный синтез, когда цепь образуется каскадным включением звеньев, и общий частотный коэффициент передачи такого устройства определяется по формуле:

K(p)=K₁(p) K₂(p)... K_n(p)

Коэффициенты передачи звеньев должны реализовывать те полюса передаточной функции, которые были получены на этапе аппроксимации.

Для синтеза НЧ-фильтров требуются каскады двух видов: звенья первого порядка, которые имеют один вещественный полюс, и звенья второго порядка, которые имеют пару комплексно-сопряженных полюсов.

В качестве звена первого порядка можно использовать интегрирующую RC-цепь, частотный коэффициент передачи и единственный полюс которой определяются следующим образом:

, , .

Сопоставляя значения найденного на этапе аппроксимации нормированного полюса и конкретного для данного звена, можно определить номиналы входящих в схему элементов (один из них выбирается произвольно):

Р₁=Р_нω_с

В качестве звена второго порядка можно использовать любой Г-образный четырехполюсник, содержащий R, L, C элементы, дифференциальное уравнение которого имеет соответственно пару комплексно-сопряженных корней:

L

C R

U_вх U_вых

U_вх=U_L+U_R

P_1,2= Pн_1,2ω_с

Реализация вч-фильтров

Для того, чтобы на основе синтезированного ФНЧ реализовать ФВЧ с той же частотой среза, необходимо осуществить замену переменной:

В результате такой замены конденсаторы и катушки индуктивности меняются местами с соответствующей заменой номиналов.

Резистивные элементы остаются без изменения.

Реализация полосовых фильтров осуществляется в результате следующей замены частотной переменной, при этом частота среза соответствующего ФНЧ становится центральной частотой полосового фильтра ω₀:

.

В результате такой замены:

Таким образом, ФНЧ является фильтром-прототипом, параметры которого позволяют перейти к соответствующим схемам полосовых фильтров и ФВЧ.

Задание: Для приведенных ниже в соответствии со своим вариантом исходных параметров определить:

1. Функцию частотного коэффициента передачи мощности К_р (w_н) и построить ее график.

2. Полюса функции К_р (w_н).

3. Передаточную функцию фильтра К(р).

4. Тип структурной схемы фильтра, соответствующей полученной передаточной функции.

5. Номиналы элементов, входящих в схему.

6. Соответствующие схемы ФВЧ и ПФ с той же частотой среза.

7. Промоделировать полученные схемы ФВЧ и ПФ в программе Electronics Workbench и построить их АЧХ.

8. Оформить полученные теоретические расчеты и графические материалы.

Примечание: № варианта выбирать в соответствии с последней цифрой своего порядкового номера по списку.