Системы счисления

Система счисления – способ представления чисел, опирающийся на некоторое конечное число знаков, называемых цифрами.

Происхождение наиболее употребительной десятичной системы связано с пальцевым счетом. В России до XVIII в. существовала де­сятичная система счисления, основанная на буквах алфавита , , и т.д. Начертание этих цифр произошло от греческих букв , , и др. Совре­менная десятичная система основана на десяти цифрах, начертание которых сформировалось в Индии к V в. и пришло в Европу с арабскими рукописями, в связи с чем цифры получили название «арабские». В некоторых странах применяли и другие системы счисления, например, в Китае – пятеричную. Существовавшая в Древнем Вавилоне шестидесятеричная система сохранилась в наши дни в делении часа и градуса угла на 60 минут и минут на 60 секунд. Древние евреи использовали как десятичную, так и двенадцатеричную системы счисле­ния.

В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на пози­ционные и непозиционные. Каждая цифра в числе, записанном в позиционной системе счисления, несет двойную информационную нагрузку:

1. количество;

2. разряд, т.е. позицию, на которой цифра находится в числе.

Например, в десятичном числе 7 313 цифра 3 (та, что левее) означает, что:

1. она находится во втором разряде (отсчет разрядов ведется справа, начиная с нуля), т.е. соответствует разряду сотен;

2. количество этих сотен равно 3.

В любой позиционной системе счисления любое число x может быть представлено в следующем виде:

. (1)

Здесь – количество цифр, используемых для записи чисел в данной системе счисления (основание системы счисления);

­– числовые коэффициенты, причем положительные значения индексов соответствуют цифрам в целой части числа, а отрицательные – в дробной.

Пример. Десятичное число 7 313, 49 в виде (1) представляется следующим образом:

7 313, 49₁₀ = 7 · 10³ + 3 · 10² + 1 · 10¹ + 3 · 10⁰ + 4 · 10^-1 + 9 · 10^-2.

Тогда коэффициенты его разложения будут равны

a₃ = 7, a₂ = 3, a₁ = 1, a₀ = 3, a_-1 = 4, a_-2 = 9.

Приведем некоторые примеры позиционных систем счисления.

Таблица 1

Система счисления	Основание	Цифры
Двоичная	2	0, 1
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Общепринятая десятичная система счисления оказывается неудобной для технической реализации, поскольку необходимо различные цифры кодировать десятью различными способами. Поэтому для внутреннего представления чисел в компьютере используется двоичная система счисления – в виде сигналов низкого (0) или высокого (1) уровней. Представление чисел в десятичной системе счисления проводится только на этапе получения информации от пользователя и на этапе выдачи результата.

Установим соответствие между записями чисел в системах счисления, представленных в табл. 1.

Таблица 2

Десятичное число	Двоичное число	Восьмеричное число	Шестнадцатеричное число
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Несмотря на удобство технической реализации, двоичная система обладает существенным недостатком – громоздкостью записи чисел. Поэтому для сокращения записи используется восьмеричная или шестнадцатеричная форма записи двоичного числа.

Кроме позиционных систем счисления су­ществуют системы, в которых значение цифры не зависит от той позиции, которую она занимает в числе. Такие системы счисления называются непозиционными. Наи­более известным примером непозиционной системы счисления является римская система. В этой системе используется 7 знаков (I, V, X, L, С, D, М), которые соответствуют следующим величинам:

I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000).

Например, десятичное число 7 313 в римской системе счисления запишется следующим образом:

MMMMMMMCCCXIII.

Недостатком непозиционных систем счисления является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий над ними. Поэтому римские числа используются лишь при нумерации (глав в книгах, веков в истории и др.).

При работе с компьютерами приходится параллельно использовать несколько позиционных систем счисления, поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления в другую.