№31 Методика изучения геометрических фигур и их измерений в курсе геометрии

На первых уроках изучения систематического курса геометрии закладываются основы курса планиметрии: вводятся основные понятия и свойства простейших геометрических фигур, позволяющие осуществить построение всего курса. Введение основных свойств геометрических фигур проводится на основе систематизации и обобщения знаний и представлений учащихся о геометрических фигурах, накопленных ими в процессе изучения математики. Поэтому в методическом плане понятия, вводимые в начале изучения курса планиметрии достаточно просты и в известной степени знакомы учащимся, а значит, ни подготовительной работы, ни значительной отработки не требуют. Изучение первых тем должно решить задачу введения терминологии, развития наглядных представлений и навыков изображения планиметрических фигур и простейших геометрических конфигураций, как по условию задачи, так и в ходе решения задач. Все это необходимо для дальнейшего изучения курса геометрии, в силу чего важными аспектами изучения систематического курса является работа с чертежами и рисунками, использование простейших геометрических инструментов (линейка, транспортир). При решении задач следует, прежде всего, опираться на наглядные представления учащихся. Тем не менее, решение задач следует использовать для постепенного формирования у учащихся первых навыков применения свойств геометрических фигур как опоры при решении задач. Для изучения фигур необходимо знать свойство отношений (параллельности, перпендикулярности, подобия). В истории преподавания геометрии всегда был актуален вопрос: с чего начинать изучение геометрии с линий или тел? На него в различные исторические периоды давались разные ответы, в советский и постсоветский период преобладала традиция начинать изучение геометрии с линий. Вторая традиция – раздельное изучение планиметрии и стереометрии. Давая рекомендации по изучению геометрических фигур, предполагается в определенной мере нарушить обе традиции, связано это с тем, что к началу изучения курса геометрии ученики знают почти все геометрические фигуры, за исключением может быть частных видов призм и частей шара. А так же с необходимостью развития пространственного мышления, включения субъективного опыта в процесс изучения геометрии, целесообразности изучения отношений параллельности, перпендикулярности на плоскости и в пространстве на фигурах. Изучение геометрических фигур и их измерений одним блоком позволяет значительно расширить тематику задачного материала, обеспечить более глубокую мотивацию за счет использования содержательных прикладных задач.

Введение понятия «геометрическая фигура».

Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Примерами геометрических фигур являются: треугольник, квадрат, окружность. (Рис.1)

Рис. 1.

Геометрические фигуры бывают весьма разнообразны. Часть любой геометрической фигуры является геометрической фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур есть снова геометрическая фигура. На рисунке 2 слева состоит из треугольника и трех квадратов, а фигура справа состоит из окружности и частей окружности. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек.

Рис. 2.

Особенности в методике изучения равенства треугольников, четырехугольников и их площадей. Прежде чем предложить методику изучения фигур и их измерений, необходимо остановиться на принципиальных особенностях изучения фигур в действующих учебниках геометрии.

Во-первых, в начале систематического курса рассматриваются простейшие фигуры: точки, прямые, отрезки, предшествующий геометрический опыт школьников практически не используется. Во-вторых, равные треугольники рассматриваются для введения основного метода доказательства – метода равных треугольников. В учебниках Погорелова, Атанасяна, Александрова равенство треугольников определяется по-разному у первого и второго авторов рассматривается три традиционных признака равенства треугольников, у Александрова два признака равенства треугольников. В-третьих, в учебниках Атанасяна и Погорелова многоугольник вводится как каркас, на основании свойств площади которого устанавливается, что площадь многоугольника равна нулю. В-четвертых, формулируются различные свойства площади, что приводит к различным подходам, к доказательству формул объема и площади. Тема «Площади многоугольников» в различных учебниках расположена по-разному, что влияет на подбор задачного материала и обеспечивает различный уровень реализации внутри предметных связей. В учебниках Атанасяна и Погорелова принято строго деление курса планиметрия - стереометрия. В различных изданиях учебниках Александрова идея фузионизма реализуется на разных уровнях, в частности планиметрическая фактология иллюстрируется на объемных фигурах. Итак, к первому уроку в седьмом классе учителю следует предложить ученикам вспомнить известные им геометрические фигуры. При изображении фигур естественно не следует ограничиваться только плоскими фигурами, поскольку ученики уже в 5 – 6 классах на уроках математики могли изображать прямоугольный параллелепипед. Позже могут быть введены формулы для вычисления площади.

№32Методика обучения тождественным преобразованиям в курсе алгебры основной школы

Основные понятия. Числовые выражения составляются из чисел с помощью знаков действий и скобок. Число, которое получается в результате выполнения действий в числовом выражении, называют значением выражения. Выражение, составленное с помощью чисел, переменных и их степеней и знаков действий называется выражением с переменными. Если в выражении с переменными подставить вместо каждой переменной какое-либо её значение, то получится числовое выражение. Его значение называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных. Два выражения называются тождественно равными, если при всех значениях входящих в них переменных, принадлежащих общей области определения, соответственные значения этих выражений равны.

Тождество — равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных (равенство, верное при любых значениях переменных), например

,

.

Тождество обозначается «≡»