№30 Методика обучения уравнениям и неравенствам в курсе математики

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики.

«Уравнения» и «неравенства» - ведущие алгебраические понятия. С исторической точки зрения можно выделить три главные области возникновения и функционирования уравнений и неравенств:

1. Средство решения текстовых задач.

2. Особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения.

3. Формула, которой косвенно определяются координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Выделенным областям возникновения и функционирования уравнений и неравенств в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики:

1. Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, т.к. уравнения, неравенства и их системы являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

2. Теоретико – математическая направленность линии уравнений и неравенств раскрывается в двух аспектах:

В – первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем и, во – вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом.

3. Направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Например, связь с числовой линией проявляется в том, что при последовательном расширении числовой системы все числовые области кроме действительных чисел, возникают в связи с решением каких – либо уравнений, неравенств и их систем. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений и неравенств. Линия уравнений и неравенств тесно связана также с функциональной линией. Прежде всего, это приложение методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств к исследованию функций (нахождение области определения, области значения, нулей функции, промежутков знакопостоянства).

С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние на изучение уравнений и неравенств – это привлечение графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.

Основными понятиями, данной содержательно методической линии являются понятия: уравнение, неравенство с переменной, корень уравнения, решение неравенства с переменной, система и совокупность уравнений и неравенств. За длительное время развития алгебры менялся подход к определению этих понятий, что отражалось естественным образом в школьном курсе.

Например, Уравнение (с одной переменной) – это:

Равенство двух выражений, в котором некоторые буквы считаются неизвестными, а остальные – известными.

Равенство, справедливое при некоторых значениях переменной х.

Равенство значений двух функций f(x)=g(x).

Высказывание (предложение) с переменной в виде равенства функций f(x)=g(x), относительно которого поставлена задача:

Найти такие значения переменной х, при которых это высказывание истинно.

Последнее определение выражает функциональный подход к определению уравнения, с ним связаны еще такие понятия, как:

1. Область определения уравнения (или ОДЗ) – это множество значений переменной, для которых функция f(x) и g(x) определены.

2. Корнем уравнения называется каждое значение переменной х из области определения уравнения, при которых высказывание f(x)=g(x) истинно.

3. Решить уравнение, значит найти множество всех его корней или доказать, что их нет.

4. Два уравнения, множества корней которых совпадают, называется равносильными.

В зависимости от вида функции f(x) и g(x) различают и виды уравнений и неравенств с переменной. Уравнения и неравенства с переменной делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные). К первым относится линейные (5-6 классы), квадратные (8 класс), дробные (8 класс), высших степеней (9 - 11 классы), иррациональные (10 класс). Ко вторым – тригонометрические (10 – 11 классы).

Существует два основных метода решения уравнений и неравенств с переменной – алгебраический и графический.

Алгебраический метод основан на теоремах о равносильности уравнений и неравенств (сложение и умножение обеих частей уравнений и неравенств на одно и то же число).

Суть алгебраического метода решения уравнений и (неравенств) заключается в следующем:

1. Последовательный переход с помощью тождественных преобразований (выполняемых в одной части – раскрытие скобок, приведение подобных ) и равносильных преобразований от данного уравнения к более простому, стандартному.

2. Решение простейших уравнений (по алгоритму).

Суть графического метода решения уравнений (неравенств) заключается в отыскании значений переменной х, соответствующей равным значениям функций f(x) и g(x) (промежутков для которых f(x)>g(x) или f(x)<g(x)) с помощью точки пересечения графиков функций.