48. Множественное уравнение регрессии.

Важнейший частный случай стат. связи – корреляционная связь. При корреляц. связи разным значениям одной переменной соответствуют различные ср. значения др. переменной, т.е. с изменением значения признака х изменяется ср. значение признака у.

Множественная корреляция – зависимость результат. признака от двух и более факторных признаков.

Матем. корреляц. зависимость результат. переменной от нескольких факторов опис-ся ур-нием множеств. регрессии:

y(x₁,x₂…x_k)= a+b_1.2…kx₁+b_2.13…kx₂+….+b_k.12…k-1x_k

Уравнение множеств. регрессии характ-т ср. изменение y с изменением признаков факторов. При построении уравнения множественной регрессии нужно решить две задачи:

1. Выбрать признаки – факторы, включенные в регрессию.

2. Выбрать тип уравнения регрессии.

Решение 1-ой задачи основыв-ся на рассмотрении матрицы парных коэффиц-тов корреляции и выделении тех переменных, для которых выполняется правило:

Ryx_j > Rx_iy_j (где i≠j)

Кроме того, не рекоменд-ся включать во множеств. регрессию переменные, тесно связанные м-ду собой.

Решение 2-ой задачи основыв-ся на соотношении: чем проще тип ур-ния множеств. регрессии, тем очевиднее интерпретация его параметров, тем лучше для использ-ния регрессии с целью анализа и прогноза.

Параметры множеств. ур-ния регрессии так же, как и в парном уравнении регрессии расчитыв-ся методом наим. квадратов.

å(y_i-a-b₁x₁-b₂x₂-…-b_kx_k)→min

Получаем систему уравнений:

an + b₁åx₁+ b₂åx₂+_…+ b_kåx_k =åy

aåx₁ + b₁åx_i²+ b₂åx₁x₂+…+ b_kåx₁x_k =å yx₁

………………………………………………………

aåx_k + b₁åx₁x_k + b₂åx₂x_k+…+ b_kåx_k² =å yx_k

Отсюда a= y(ср.) - å b_j x_j(ср.)

Коэффиц-ты b_j наз-ся коэфф-ми условно чистой регрессии.

Термин условно-чистая регрессия означает, что каждая из величин измеряет среднее по совокупности отклонение результ. признака от его ср. величины на ед-цу его измерения и при условии, что все прочие факторы, входящие в уравнение регрессии не изменяются и не варьируют.

Коэффициенты условно-чистой регрессии явл. именованными величинами, поэтому их преобразуют в сравнимые величины. Полученные показатели наз-т стандартизированными коэфф-ми регрессии ( - коэффициенты). β_j= b_j*σ_xj / σ_y

- коэффициенты показывают на ск-ко отклоняется от своего ср. значения в средних квадратических отклонениях результат. признак y при отклонении факт. признака от своего ср. значения на 1 среднее квадратическое отклонение.

Коэффициенты эластичности показывают на сколько % изменится результ. признак при изменении факторного на 1%:

Э_j= b_j*( x_j(ср.) / y_(ср.))

Коэффициент совокупной детерминации: R²=å Ryx_i β_i

Важно знать вклад каждой объясняющей переменной, он измеряется коэффиц-ми раздельной детерминации:

D_i²= Ryx_i β_i

49. Частная и множественная корреляция.

Поскольку на изучаемый результат. признак влият не один факторный признак, а множество, то возникает задача изолированного измерения тесноты связи результат. признака с каждым из признаков- факторов при элиминировании (погашении связи) др. признаков-факторов, а так же задача измерения тесноты связи между результат. признаками и всеми признаками-факторами, включенными в анализ. В анализ включ-ся те фактор. признаки, для кот. их корреляция м-ду собой слабее корреляции с результат. признаком.

На основе коэф-тов парной корреляции можно рассчитать коэф-ты частной корреляции.

Частная корреляция- чистая корреляция м-ду двумя переменными при погашении связи с др. переменными.

Коэф-т частной корреляции первого порядка, когда погашается связь с одной переменной:

Коэф-т частной корреляции второго порядка:

Точка в подстрочных значках R означает погашение связи х₂ и х₃ с у и х₁. Коэф-ты частной корреляции принимают значения от -1 до 1. На основе коэф-тов частной корреляции расчит-ся коэф-ты частной детерминации. Он обозначается как

R²(yx_k .x₁x₂…x_k-1x_k+1…x_m)

Коэф-ты множественной детерминации показывает, какая часть дисперсии результат. переменной у объясняется за счет учтенных в анализе факторных признаков. Этот показатель обозначается R²(yx₁…x_k) и изменяется в интервале (0,1)

, где -дисперсия переменной у, а - общая дисперсия переменной у. Извлекая корень квадратный из получим коэф-т множеств. корреляции у. Он должен быть не < максимального из парных или частных коэф-тов корреляции.

Назначение коэф-та множеств. корреляции состоит в оценке качества ур-ня множеств. регрессии: чем > значение R, тем ближе оно к 1, тем лучше уравнение регрессии, тем надежнее рез-ты анализа или прогноза на его основе.