Построение кубического сплайна

Задача: построить кубический сплайн по 6 точкам.

Таблица зависимости значений функции от аргумента

X	1	1,2	1,4	1,6	1,8	2
Y	0,9	1,9	3,2	3,8	5,1	6,1

Вычисления:

Некоторая функция f(x) задана на отрезке [a,b], разбитом на части [x_i-1,x_i]. На каждом таком отрезке функция S(x) есть полином третьей степени S_i(x), коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства S_i(x) в виде:

S _i (x)= a _i + b _i (x- x _i-1 )+ c _i (x- x _i-1 ) ²+ d _i (x- x _i-1 ) ³

Вычисление коэффициентов a_i, b_i, c_i, d_i

Обозначим h_i=x_i-x_i-1

Формулы для вычисления коэффициентов:

а_i=y _i-1

h_i*C _i-1 +2(h _i -+h _i+1 ) *c _i+ h _i *c _i+1 =3(y _i - y _i-1 /h _i - ( y _i-1 - y _i-2 /h _i-1 ))

b _i=(y _i - y _i-1 )/h _i -h _i /3*( c _i+1 +2*c _i )

Коэффициенты нам известны из таблицы значений функции. Коэффициенты можно вычислить методом прогонки. После нахождения можно вычислить , а после этого

Таким образом мы найдем все коэффициенты и сможем составить уравнения сплайнов для каждого отрезка [x_i-1,x_i].

Составим систему уравнений для вычисления , она будет состоять из 6 уравнений

0 ,8 С ₂ +0,2 С ₃= 4,5

0,2 С ₂ +0,8 С ₃+0,2 С ₄ =-10,5

0,2 С ₃ +0,8 С ₄+0,2 С ₅ =10,5

0,2 С ₄ +0,8 С ₅= -4,5

Коэффициенты записываем :

a	b	c	f
0	0,8	0,2	4,5
0,2	0,8	0,2	-10,5
0,2	0,8	0,2	10,5
0,2	0,8	0	-4,5

Затем по формулам :

И решаем :

А ₁=- c₁ / b ₁ =-0,25

B ₁=d₁ / b ₁ =5,625

А ₂=- c₂ / (a ₂*A₁ + b ₂ )=-0,26667

B ₂= (d₂ - a ₂*A₁ )/( (a ₂*A₁ + b ₂ )=-15,5

А ₃=- c₃ / (a ₃*A₂ + b ₃ )=-0,26786

B ₃= (d₃ - a ₃*A₂ )/( (a ₃*A₂ + b ₃ )=18,21429

А ₄=0 ,т.к. с₄ =0

B ₄= (d₄ - a ₄*A₃)/( (a ₄*A₃ + b ₄ )=-10,9091

Обратный ход:

С₅ = B₄ =-10,9091

С₄ =A₃* С₃+ B₃ =21,136364

С₃=A₂* С₂+ B₂ =-21,136364

С₂=A₁* С₁ + B₁ =10,9091

С ₁= С ₆=0

Невязки:

r ₀=0.00000000001

r ₁=0.00000000000

r ₂=-0.00000000000

r ₃=-0.00000000000

r ₄=0.00000000001

r ₅=0.00000000000

Коэффициенты:

а ₁=0,9 b ₁=4,2727 d ₁= 18,1818 c ₁=0

а ₂=1,9 b ₂=6,45455 d ₂== 53,40909 c₂ = 10,9091

а ₃=3,2 b ₃=4,4091 d ₃= 70,4091 c₃ =-21,136364

а ₄=3,8 b ₄=4,4091 d ₄=-53,40909 c₄ =21,136364

а ₅=5,1 b ₅=6,45455 d ₅=18,1818 c₅ = -10,9091

а ₆=6,1 b ₆=0 d ₆= 0 c ₆=0

Находим полином третьей степени:

S ₁(x)=0,9+4,2727*(x-1) +0*(x-1) ² +18,1818*(x-1) ³=

= -21,5545+58,8182* x -54,545 *x² +18,1818*x³

S ₂(x)=1,9+6,4545*(x-1,2) +10,9*(x-1,2) ² -53,40909*(x-1,2) ³=

= 102,1545-250,4555* x-203,1818*x² -53,40909*x³

S ₃(x)=3,2+4,40901*(x-1,4) -21,1364*(x-1,4) ²+70,4545*(x-1,4) ³ =

= -237,727+477,8636* x-317,0455*x² +70,4545*x³

S ₄(x)=3,8+4,409091*(x-1,6) +21,1364*(x-1,6 )²-53,40909*(x-1,6) ³=

= 269,6182-473,409* x+277,5*x² -53,40909*x³

S ₅(x)=5,1+6,4545*(x-1,8) -10,9091*(x-1,8) ² +18,1818*(x-1,8) ³=

=-147,9+222,4545* x- 109,091*x²+18,1818*x ³

По этим многочленам построим график в Excel

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом прогонки с помощью программы Excel:

a	b	c	d	A	B	c
0	0,8	0,2	4,5	-0,25	5,625	10,90909
0,2	0,8	0,2	-10,5	-0,26667	-15,5	-21,1364
0,2	0,8	0,2	10,5	-0,26786	18,21429	21,13636
0,2	0,8	0	-4,5	0	-10,9091	-10,9091

Вычислено верно.

Вычислить значение функции х₀=1,5

Задача: Вычислить значение функции х₀=1,5 использую полученную аппроксимирующую функции:

N(1,5 )=-125 *(1,5)⁵ +937,5 *(1,5)⁴ -2770,8333 *(1,5)³ +4031,2498 *(1,5)² -2880,21624*1,5+808,199944=3,500246

Вычисляем значение функции х₀=1,5 использую полученную аппроксимирующую функцию методом наименьших квадратов :

y=5,17x-4,257=5,17*1,5-4,257=3,498

Вычисляем значение функции х₀=1,5 использую полученную полином третьей степени S(x):

S (1,5)=3,5001