Методологические основы моделирования финансовой деятельности с использованием нечетко-множественных описаний

81

откуда 1 = NPV(0) = 0.241, G' = NPV-1( 1) = 1.257, и, согласно (2.18) - (2.21), R = 0.101, V&M = 0.013.

Видим, что за счет снижения уровня неопределенности степень риска понизилась почти на порядок. Таким образом, у инвестора появляется эффективный инструмент контроля эффективности инвестиционного процесса.

Из расчетов видно, что чем значительнее неопределенность в исходных данных, тем выше риск. Поэтому в ряде случаев инвестор просто обязан отказаться от принятия решения и предпринять дополнительные меры по борьбе с неопределеннностью. Чтобы знать, когда оправдан отказ от принятия решения, инвестору необходим измеритель неопределенности сложившейся информационной ситуации (неустойчивости проекта [35]). Логично производить такие измерения по показателю 1. Для случая полной определенности 1=0. Применительно к NPV(x) вида (2.22) расчеты дают 11 = 0.655, а для NPV(x) вида (2.24) 12 = 0.241 < 11 . Инвестор опять же может интерпретировать значения 1 лингвистически, как и в случае лингвистической оценки степени риска, и таким образом обозначить для себя границу 1, за которой неопределенность перестает быть приемлемой.

2.2.5. Простейший способ оценки риска инвестиций

Рассмотрим процесс бизнес-планирования в расплывчатых условиях, когда неопределенность исходных данных такова, что позволяет порождать интервальносимметричные оценки (например: минимум продаж – 5 млн. руб, максимум продаж – 10 млн. руб, среднее – (5+10)/2 = 7.5 млн. руб). Особенно характерна такая ситуация для эскизных бизнес-проектов, когда исходные данные содержат максимум неопределенности.

Интервально-смимметричные расплывчатые параметры можно характеризовать уже не тремя, а двумя действительными числами: средним значением параметра и разбросом от среднего.

Если все параметры бизнес-плана интервально-симметричные, то можно привести результирующий показатель эффективности бизнес-плана - чистую современную ценность проекта (NPV) - к интервально-симметричному виду, пренебрегая погрешностью, вносимой несимметричностью размытого фактора дисконтирования.

82

Обозначим NPVav – среднеожидаемое значение NPV, - разброс NPV от среднего, т.е. = NPVav – NPVmin = NPVmax – NPVav, NPV = NPVav .

Введем коэффициент устойчивости бизнес-плана:

Ясно, что чем выше коэффициент устойчивости бизнес-плана, тем надежнее принимаемое инвестиционное решение. При разброса данных нет, и инвестиционный проект может быть принят к исполнению или отвергнут без риска ошибочного решения. Однако в реальности инвестиционного проектирования всегда существуют сценарии неблагоприятного развития событий, когда NPVmin = NPVav - < 0, т.е. < 1. При этом рациональные инвестиционные проекты предполагают положительный среднеожидаемый исход проекта, т.е. выполняется > 0.

Таким образом, мы исследуем риск инвестиционного проекта при исходном допущении об устойчивости проекта в пределах 0< < 1.

Воспроизведем вывод формулы для оценки риска проекта в простейшем случае, воспользовавшись результатами раздела 2.2.4 работы. Если NPV проекта – треугольное нечеткое число (NPVmin, NPVav, NPVmax), то риск проекта RE (Risk Estimation - ожидание того, что NPV<0) оценивается соотношениями:

84

Теперь можно очень просто, без применения наукоемких методик, за один шаг определять риск-статус инвестиционного проекта. Посмотрим это на двух примерах.

Пример 1. По результатам финансового анализа бизнес-плана получена треугольная интервально-симметричная оценка NPV = (-40, 40, 120) тыс. евро, или, что то же самое, NPV = 40 80 тыс. евро. Определить риск-статус проекта.

Решение. = 40/(120-40) = 0.5 > 0.44. Риск проекта – приемлемый (7.7%).

Пример 2. Возьмем за основу данные примера предыдущего пункта 2.2.4 работы (таблица 2.7). Там NPV = (-1, 0.527, 2.470) – несимметричное треугольное число. Рассмотреть варианты оценки риска по простейшей методике.

Решение. Найдем два параметра симметричных треугольных чисел, строящихся на основании исходного:

среднее значение (-1 + 2.47)/2 = 0.735 > 0.527 треугольного числа для нижней оценки риска. Тогда NPV = (-1, 0.735, 2.47) = 0.735 1.735, = 0.424,

по этой оценке риск проекта признается пограничным (10.6%);

верхнее значение 2*0.527-(-1) = 2.054 < 2.47 треугольного числа для верхней оценки риска. Тогда NPV = (-1, 0.527, 2.054) = 0.527 1.527, = 0.345, по этой оценке риск проекта также признается пограничным

(14.4%).

Таким образом, найдена двусторонняя оценка риска, которая приводит к однозначному результату распознавания качественного уровня риска в обоих случаях. Все это говорит о том, что зачастую двусторонние оценки, полученные с применением простейших методов и калькулятора, могут заменить оценки, для которых необходимо использовать более трудоемкие методики и специализированное программное обеспечение.

2.2.6.Оценка риска проекта по NPV произвольно-нечеткой формы

Вряде случаев треугольная форма оценки NPV не может быть обоснована, и приведение нечеткого числа NPV к треугольному виду (операция трианглизации) невозможно.

Продемонстрируем возможность (невозможность) трианглизации на простом примере. Пусть интервал проекта – год, всего 10 лет проекта, ставка дисконтирования колеблется в пределах от 10% до 20% годовых. Тогда фактор дисконтирования

1/(1+[0.1..0.2])10 представлен на рис. 2.10:

85

Рис. 2.10. Функция принадлежности числа 1/(1+[0.1..0.2])10

Видим, что передний фронт функции принадлежности постепенно становится вогнутой функцией, а задний фронт функции – выпуклой функцией. В случае рис. 2.10 эта возникшая кривизна практически незаметна, и ею легко можно пренебречь. Другое дело, если ставка дисконтирования увеличится в три раза (например, в связи с инфляцией). Тогда кривизна функции принадлежности уже вполне заметна (рис. 2.11), и решение - проводить трианглизацию или нет, - остается за разработчиком модели и зависит от необходимой точности при оценке риска неэффективности инвестиций.

Рис. 2.11. Функция принадлежности числа 1/(1+[0.3..0.6])10

Если фактор дисконтирования не является треугольным числом, тогда и NPV не является треугольным числом. Поэтому соотношения для оценки риска, приведенные нами в предыдущих разделах работы, применены быть не могут.

В то же время оказывается возможным записать формулу для оценки риска инвестиций для случая NPV в форме произвольного нечеткого числа. Зададим шаг дискретизации по уровню принадлежности (например, =0.1) и введем сегментный набор нечеткого числа как набор интервалов количеством N

для заданного уровня принадлежности (для =0.1 число интервалов принадлежности N = 11 = 1/ +1, при = 0..1). Такой сегментный способ задания произвольного нечеткого числа является общеупотребительным.

86

Таже возможно задать нечеткое число и функционально. Характерным примером являются числа (L-R)-типа [320], вид функции принадлежности которых представлен на рис. 2.12. Частным случаем чисел (L-R)-типа являются треугольные нечеткие числа.

x

1

Рис. 2.12. Вид функции принадлежности нечеткого числа L R -типа

Но далее мы будем использовать только сегментное представление числа, к которому можно перейти, в частности, от функционального представления, - как самый общий вид задания нечеткого числа.

Выше нами показано, что если NPV задан треугольным числом, то риск инвестиций определяется по формуле:

G – предустановленный плановый уровень NPV, ниже которого проект становится неэффективным, NPV1 , NPV2 - сегментно-интервальные функции, полученные на основе функции принадлежности треугольного нечеткого числа в каждой точке , а А

= NPV(G).

Перейдем от (2.35)-(2.36) к записи для NPV произвольного вида. Пусть

Тогда запись (2.36) остается без изменений, а (2.35) преобразуется к дискретному виду:

87

В качестве норматива эффективности инвестиций примем G = 0, т.е. для того, чтобы считать инвестиции эффективными, должно выполняться условие NPV>0 (наиболее распространенный критерий эффективности инвестиций).

Рис. 2.13. NPV в соответствии с табл. 2.10

Тогда результат расчетов по формуле (2.36) приведен в последней колонке табл.2.10, и итоговое значение риска Risk на основе (2.38) составляет 0.148 (15%).

Для сравнения: если интерпретировать NPV треугольным нечетким числом (-10.9, 4.3, 52.5), то оценка риска инвестиций по формулам (2.35) – (2.36) дает Risk = 0.086 (9%),

т.е. в полтора раза меньше. Такое снижение риска возникает за счет снижения вогнутости переднего фронта числа и снижения выпуклости заднего фронта числа. В обоих случаях последствием является снижение риска, что, вообще говоря, приводит к его недооценке по сравнению с более корректным, хотя и приближенным, методом расчета.

Полученное расхождение оценок как раз и свидетельствует в пользу того, что приведение оценки NPV к треугольному виду – это операция, требующая обоснования.

88

Если расхождение оценок рисков инвестиций по проекту, полученных двумя способами, велико, то трианглизация незаконна.

На самых ранних этапах оценки проекта можно судить о том, будет NPV близок к треугольному виду или нет, по характеру нечеткого числа фактора дисконтирования. Если при сценарном изменении числа лет проекта и ставки дисконтирования (треугольное число) в некоторых пределах (близких к расчетным) фактор дисконтирования близок к треугольному виду, тогда можно ожидать результирующий NPV также треугольным, и усложнения расчетов не требуется. Если же форма числа фактора дисконтирования искривляется по переднему и заднему фронтам, то нужно переходить к расчетам в сегментной форме, по правилам мягких вычислений, и тогда производить оценку риска инвестиций по формулам, здесь предлагаемым.

Полагаем, что теперь оценка риска инвестиционного проекта при любых способах задания денежных потоков проекта (в виде треугольных последовательностей или последовательностей произвольного вида) не представляет никакого труда.

2.2.7. Риск-функция инвестиционного проекта

Пусть по результатам инвестиционного анализа проекта нам известен вид некоего результирующего показателя инвестиционного проекта (далее, без нарушения общности изложения, будем считать, что показателем эффективности инвестиционного проекта является NPV). Предположим также, что, в связи со значительной неопределенностью исходных данных проекта, показатель NPV может быть представлен одним из нижеследующих способов:

1)как интервальное значение NPV = [NPVmin, NPVmax];

2)как треугольно-симметричное нечеткое число NPV = NPVav ;

3)как треугольное число произвольного вида NPV = (NPVmin, NPVav, NPVmax);

4)как нечеткое число произвольного вида NPV = {NPV ; [NPV min, NPV max]}, т.е. как набор интервалов по каждому выбранному уровню принадлежности .

Для всех четырех случаях задания NPV мы имеем точные и приближенные аналитические методы оценки риска инвестиций Risk(G), как возможности того, что по результатам инвестиционного процесса значение NPV окажется ниже предустановленного граничного уровня G:

Граничный уровень G может быть нами рассмотрен как скалярная переменная, так и как нечеткое число, но в данном изложении мы полагаем G четким. Тогда назовем (2.39) рискфункцией инвестиционного проекта.

Чтобы прояснить существо риск-функции и ее практическое значение для инвестиционного анализа, рассмотрим простые расчетные примеры. Проиллюстрируем

89

изложение примера экранами разработанного нами совместно с Д.А.Бессоновым калькулятора для оценки риска прямых инвестиций (подробно об этом программном решении см. раздел 5.1.3 настоящей диссертационной работы, а также соответствующие материалы сайта [145])

Пример 1. NPV = [-10, 50] – интервальная оценка. Найти Risk (G).

Решение 1. Интервальная оценка характеризуется тем, что выраженного уровня предпочтения одних значений другим в пределах интервала нет, причем эта равнопредпочтительность сохраняется при любых уровнях . Соответственно, риск неэффективности проекта, измеренный по интервальному NPV, составляет:

Вид риск-функции (2.40) представлен на рис. 1:

Рис. 2.14. Риск функция вида (2.40).

Видно, что с ростом ограничения риск проекта возрастает линейно, что как раз свидетельствует об интервальном характере неопределенности. Если об NPV известно что-то большее, чем интервал возможных значений, то риск-функция ведет себя нелинейно, что будет видно из последующих примеров.

Пример 2. NPV = 20 30 – треугольно-симметричная оценка. Найти Risk (G).

Решение 2. Этот вид оценки необычайно распространен в предварительных эскизных расчетах по проекту. Обычно проектант ориентируется на некоторый среднеожидаемый уровень эффективности, рассматривая отклонения от ожидаемого среднего как разброс плюс-минус дельта.

90

В самом общем виде риск-функция для NPV вида треугольного числа, как мы показали ранее, считается по формуле:

NPVmax NPVav

0, G NPVmax

Вданном треугольно-симметричном случае выполняется:av max

а риск-функция имеет вид рис. 2.15:

Рис. 2.15. Риск функция вида (2.41) для симметричного случая

Для данного случая видно, что риск-функция имеет центрально-симметричный вид, с центром симметрии в точке (NPVav, 50%). При этом можно выделить три качественных участка функции:

медленный рост, примерно до точки (13, 20%);