Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Факультетприкладной математики и механики

Расчётная работа Тема: Элементы математической статистики

Выполнил: студент

гр. САД-10-2

Десятов А.А.

Проверил:

Федосеева О.А.

Пермь, 2012

Оглавление

«Пермский национальный исследовательский политехнический университет» 1

Задание 3

Расчеты 4

Проверка 11

Задание 3

Расчеты 4

Проверка,6 задание 11

Задание

В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда:

Требуется:

1. записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;

2. найти размах варьирования и разбить его на ряд частичных интервалов;

3. построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;

4. найти числовые характеристики выборки (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение);

5. приняв в качестве нулевой гипотезу : генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить её, критерием Пирсона при уровне значимости α =0,025;

6. найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности γ = 0,99.

IX Вариант

70	95	75	85	60	77	55	63	80	67
90	78	57	76	84	82	75	68	73	62
62	81	77	72	97	68	85	56	92	71
73	78	98	63	83	85	70	90	66	91
86	68	55	93	71	96	77	81	86	72
82	62	70	78	67	87	91	99	78	87
91	58	81	97	75	83	71	66	61	76
73	85	65	90	86	61	54	75	78	93
87	58	72	92	66	98	65	81	76	63
95	83	65	57	80	87	61	92	56	71

Расчеты

1). Располагаем значение результатов эксперимента в порядке возрастания, т.е. записываем вариационный ряд:

54	55	55	56	56	57	57	58	58	60
61	61	61	62	62	62	63	63	63	65
65	65	66	66	66	67	67	68	68	68
70	70	70	71	71	71	71	72	72	72
73	73	73	75	75	75	75	76	76	76
77	77	77	78	78	78	78	78	80	80
81	81	81	81	82	82	83	83	83	84
85	85	85	85	86	86	86	87	87	87
87	90	90	90	91	91	91	92	92	92
93	93	95	95	96	97	97	98	98	99

2). Находим размах варьирования: .

Для определения данных интервала используют формулу , где - объем выборки. За величину частичного интервала принимается некоторое удобное число, ближайшее к полученному .

Объем выборки: n=100;

ΔX=45/(1+3,3*ln(100))=45/7,6=5,921.

h=6

Числоинтервалов определяется формулой .

λ=[45/6]+1=[7,5]7+1=8интервалов.

№	Границы	Середина	Частота интер­вала	Относитель­ная частота	Плотность относитель- ной частоты
1	54-60	57	9	0,09	0,015
2	60-66	63	13	0,13	0,0216
3	66-72	69	15	0,15	0,025
4	72-78	75	16	0,16	0,0266
5	78-84	81	16	0,16	0,0266
6	84-90	87	12	0,12	0,02
7	90-96	93	13	0,13	0,0216
8	96-102	99	6	0,06	0,001

3). Строим полигон частот– ломанную линию, отрезки которой соединяют точки , , …, (рис. 1) и гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы, длиною , а высоты равны плотности относительной частоты (рис.2).

Рисунок 1

Рисунок 2

Найдем значения эмпирической функции распределения (функции распределения выборки) – функции, определяющей для каждого значения относительную частоту события .

Итак, по определению,

,

где - число вариант, меньших ; - объём выборки.

F*(54)=0; F*(60)=0,09; F*(66)=0,22; F*(72)=0,37; F*(78)=0,53; F*(84)=0,69; F*(90)=0,81; F*(96)=0,94; F*(102)=1;

Строим график эмпирической функции распределения (рис. 3). :

Рисунок 3

4). Находим выборочное среднее:

и выборочную дисперсию: .

Для этого составляем расчетную таблицу:

	Границы интервала	Середина интервала	Частота интер­вала
1	54-60	57	9	513	3249	29241
2	60-66	63	13	819	3969	51597
3	66-72	69	15	1035	4761	71415
4	72-78	75	16	1200	5625	90000
5	78-84	81	16	1296	6561	104976
6	84-90	87	12	1044	7569	90828
7	90-96	93	13	1209	8649	112437
8	96-102	99	6	594	9801	58806
	-	-	-	7710	-	668106

Из нее получаем: , , .

Несмещённой называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки.

Смещённой называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкойгене­ральной дисперсии, а исправленная дисперсия - несмещенной оценкой:

, .

5).Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Имеется несколько критериев согласия: («хи квадрат») К. Пирсона, Колмагорова, Фишера, Смирнова и др.

По условию задачи, нам необходимо использовать критерий Пирсона, правило применения которого сводится к следующему:

1. вычислить теоретические частоты, затем наблюдаемое значение критерия по формуле ;

2. по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы , где – число интервалов, найти критическую точку ;

3. если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу;

если – нулевую гипотезу отвергают.

Согласно критерию Пирсона, необходимо сравнить эм­пирические и теоретические частоты. Эмпирические частоты даны. Найдем теоретические частоты. Для этого пронумеруем ,т.е. перейдем к случайной величине и вычислим концы ин­тервалов: и . Наи­меньшее значение положим стремящимся к , а наибольшее – , стремящимся к . Результаты занесем в таблицу. Число наблюдений в отдельных интервалах должно быть достаточно большим (рекомендуется иметь в каждом интервале не менее 5-10 наблюдений). Если в отдельных интервалах очень малы, следует объединить интервалы. Длины интервалов могут быть различными. В соответствии с этим, число исходных интервалов может быть уменьшено. Так как , то последний девятый интервал объединим с восьмым и получим интервалс частотой .

1	54	60	-	-17,1		-0,63
2	60	66	-17,1	-11,1	-0,63	-0,4089
3	66	72	-11,1	-5,1	-0,4089	-0,1879
4	72	78	-5,1	0,9	-0,1879	0,0331
5	78	84	0,9	6,9	0,0331	0,2542
6	84	90	6,9	12,9	0,2542	0,4752
7	90	96	12,9	18,9	0,4752	0,6963
8	96	102	18,9	-	0,6963

Находим теоретические вероятности и теоретические частоты: . Составляем расчетную таблицу:

1		-0,63	-0,5	-0,2357	0,2643	26,43
2	-0,63	-0,4089	-0,2357	-0,1554	0,0803	8,03
3	-0,4089	-0,1879	-0,1554	-0,0714	0,084	8,4
4	-0,1879	0,0331	-0,0714	0,0120	0,0834	8,34
5	0,0331	0,2542	0,0120	0,0987	0,0867	8,67
6	0,2542	0,4752	0,0987	0,1808	0,0821	8,21
7	0,4752	0,6963	0,1808	0,2549	0,0741	7,41
8	0,6963		0,2549	0,5	0,2451	24,51
	-	-	-	-	1	100

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу (последние два столбца служат для контроля вычислений по формуле: ):

1	9	26,43	-17,43	303,8049	11,4946	81	3,0646
2	13	8,03	4,97	24,7009	3,076	169	21,0460
3	15	8,4	6,6	43,56	5,1857	225	26,7857
4	16	8,34	7,66	58,6756	7,0354	256	30,6954
5	16	8,67	7,33	53,7289	6,1971	256	29,5271
6	12	8,21	3,79	14,3641	1,7495	144	17,5395
7	13	7,41	5,59	31,2481	4,217	169	22,8070
8	6	24,51	-18,51	342,6201	13,9787	36	1,4687
	100	100	-	-		-	152,934