- •Статика
- •Аксіоми статики
- •Невільне тіло. В’язі
- •Збіжні системи сил
- •Умова та рівняння рівноваги збіжної системи сил
- •Методична схема розв’язування задач по статиці:
- •Складання пари сил
- •Моменти відносно точки та осі
- •Аналітичний вираз моменту сили відносно координатної осі
- •Довільно розташовані сили Метод Пуансо
- •Зведення системи сил до центра зведення
- •Зведення системи сил довільно розташованої на площині
- •Зведення системи сил до найпростішого вигляду
- •Три леми
- •Система сил довільно розташована у просторі
- •Зведення системи сил до найпростішого вигляду
- •Складання паралельних сил Рівняння рівноваги паралельних сил
- •Зведення системи сил до рівнодійної
Три леми
Якщо на ненавантаженому вузлі збігаються 2 стержні, один з яких знаходиться під кутом до іншого, то обидва ці стержні будуть нульовими.
Якщо в ненавантаженому вузлі збігаються 3 стержні, 2 з яких знаходяться на одній лінії дії, а третій розташований під кутом до них, то цей стержень (3) буде нульовим, а обидва інших з модулем рівні.
Якщо в навантаженому вузлі збігаються 2 стержні вздовж одного з яких спрямована активна сила, то другий стержень буде нульовим, а перший за модулем дорівнює силі.
Тертя
N – нормальна реакція, f – коефіцієнт тертя ковзання (безрозмірна величина) залежить від матеріалу з якого зроблено це тіло.
– сила тертя;
- (коли переходить зі стану спокою в стан руху)
(коли в рівновазі)
Це все закон Амонтана Кулона .
Геометричне місце усіх положень граничної сили R називається конусом тертя.
– граничне значення, коли тіло починає рухатись. ; ϕ – це кут тертя.
Якщо рівнодійна всіх сил знаходиться всередині конуса тертя, то тіло знаходиться в рівновазі. В протилежному випадку тіло буде рухатись.
- це коефіцієнт тертя кочення (лінійна величина) N*h – момент кочення Мкоч.
Система сил довільно розташована у просторі
Головний вектор R* = F1+F2+…+Fn= - дорівнює геометричній сумі всіх сил. R* є де x, y, z – проекції головного вектора і його модуль дорівнює , а напрямки як завжди по напрямним косинусам . R* є діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, I, j, k – одиничні вектори, що показують напрямки x, y, z.
Також відомо, що головний момент відносно точки можна розкласти по одиничним векторам M0 = iMx+jMy+kMz.
Система сил, довільно розташована в просторі зводиться до головного вектора і моменту відносно центра зведення.
Зведення системи сил до найпростішого вигляду
R* = 0; M=M0= =0. Система сил взаємнозрівноважуюча.
R* = 0; M=M0≠0. Система сил зводиться до пари сил(обертання)
R* ≠ 0; M=M0=0. Буде відсутній момент. Система сил зводиться до однієї сили (рівнодійної), лінія дії якої проходить через центр зведення.
R* ≠ 0; M=M0≠0, R*перпендикулярний М0. Система сил зводиться до однієї сили (рівнодійної) лінія якої не проходить через центр зведення, а на відстані d. .
R* ≠ 0; M=M0≠0, R* не перпендикулярний М0. (це неможливо для паралельних сил) Система сил зводиться або до двох мимобіжних, або до силового гвинта (динамо).
Сума проекцій сил на відповідні координатні осі дорівнюють нулю і сума складових моментів відносно координатних осей дорівнюють нулю. Невідомих не повинно бути більше 6.
Складання паралельних сил Рівняння рівноваги паралельних сил
С – тичка прикладення. Якщо сили паралельні осі Z, то проекції цих сил на відповідні координатні осі Ox i Oy будуть дорівнювати 0, а . Таким чином для паралельних сил маємо 3 рівняння рівноваги(1 рівняння проекції сил і 2 рівняння моментів . Для паралельних сил «динамо» неможливе.
Зведення системи сил до рівнодійної
Теорема Варіньйона(про момент рівнодійної сил довільно розташованих у просторі) – момент рівнодійної сили довільно розташованої у просторі відносно будь-якого центру дорівнює геометричній сумі моментів складових відносно того ж центра, а момент рівнодійної відносно осі дорівнює алгебраїчній сумі моментів складових відносно тієї ж осі.
, а напрямки моментів рівнодійної відносно центра і момент складових відносно того ж центра співпадають за означенням цих моментів.
Сукупність момента пари сил і рівнодійної називається силовим гвинтом (або динамо).
Центральна вісь симетрії сили – лінія вздовж якої розташована рівнодійна і момент пари сил.
Аналітична умова зведення системи сил до рівнодійної
Як нам відомо зведення до рівнодійної має дві умови: (R* ≠ 0; M=M0=0) і (R* ≠ 0; M=M0≠0, R*перпендикулярний М0). R*={X;Y;Z} – проекції головного вектора на відповідні координатні осі. M0={Mx; My; Mz} – моменти сил відносно координатних осей. З (1) x2+y2+z2≠0, з (2) XMx+YMy+ZMz=0.
Тверде тіло з однією або двома закріпленими точками
Для того,щоб тіло з однією закріпленою точкою знаходилося у рівновазі необхідно, щоб сума моментів сил відносно координатних осей дорівнювала 0.
Для того, щоб тіло з двома закріпленими точками знаходилося в рівновазі необхідно щоб момент сили відносно осі, що проходить через два шарніра дорівнював 0.
Центр тяжіння
Центр паралельних сил не зміниться, якщо всі сили повернути на якийсь однаковий кут α.
; - радіус вектор. - координати центра паралельних сил.
Сили тяжіння
Можна вважати, що сили притягання окремих частинок спрямовані до центра, а так, як ці сили дуже малі, порівняно з радіусом, то їх модна вважати паралельними. Тоді рівнодійна цих сил називається силою тяжіння, а точка прикладення сили тяжіння називається центром сили тяжіння.
Якщо тіло рівномірне – розіб’ємо його на рівні об’єми ∆V1, ∆V2, ∆Vk і підставимо в формулу для знаходження координаті центра паралельних сил ; ; , де V-об’єм всього тіла, γ – вага одиниці об’єму тіла.
Центр тяжіння плоскої пластини
ω – вага одиниці площі плоскої пластини.
; . Статичний момент площі плоскої фігури відносно осі дорівнює алгебраїчній сумі добутків елементарних площ, які входять до складу площі плоскої пластини на алгебраїчне значення їх відстаней до цієї осі ;
Центр тяжіння лінії
Кінцева лінія довжино L, де G=ρ*L, ρ – одиниця довжини цієї лінії Для однорідної лінії кінцевої довжин центр тяжіння знаходиться по середині.
Центр тяжіння кола і кулі збігається з їх геометричним центром тяжіння.
Центр тяжіння трикутника знаходиться в точці перетину медіан.
Знаходження центра тяжіння плоскої пластини по центрам тяжіння його частин
Плоска пластина ; . І підставляємо в ; .
Спосіб від’ємних площ якщо в просторі, то рівнянь буде 3.
Допоміжні теореми
Якщо однорідне тіло має вісь симетрії, то центр тяжіння знаходиться на цій осі: Z - вісь симетрії
Якщо однорідне тіло має площину симетрії, то центр тяжіння знаходиться в цій площині.
Центр тяжіння дуги кола
Дуга кола AB, однорідна лінія (х – буде віссю симетрії), згідно допоміжної теореми центр тяжіння знаходиться на осі симетрії. Для знаходження центра тяжіння досить знайти одну координату(абсцису)
ϕк визначає положення центра тяжіння .
Центр тяжіння площі сектора
Розіб’ємо цей сектор на елементарні трикутники. З’єднали центри тяжіння трикутників і шукаємо центр тяжіння лінії.
Центр тяжіння півкола ; Центр тяжіння дуги півкола