Отметим, что среди найденных значений n в пяти случаях (n = 30, 31, 32, 33, 34) значение k = 5 является единственным наивероятнейшим числом выпадений грани с единицей (соответствующее np – q – нецелое) и в двух случаях (n = 29, 35) наряду с k = 5 существует другое наиболее вероятное число появлений единицы (np – q – целое).
Полиномиальная схема
Пусть каждый из n независимых опытов может завершиться лишь наступлением одного из m попарно несовместных событий A1, A2, …, Am. Пусть, далее, события A1, A2, …, Am наступают в каждом отдельном опыте с вероятностями p1, p2, …, pm (p1 + p2 + … + pm = 1)
соответственно, неизменными для всех опытов. Тогда вероятность Pn (k1 , k2 , K, km ) того, что в серии из n описанных опытов событие A1 наступит ровно k1 раз, A2 – k2 раз, … , Am – km раз
( k1 +k2 +K+km = n ) может быть вычислена по формуле
P (k |
|
, k |
|
, K, k |
|
) = |
n! |
|
p k1 |
p k2 |
K p km . |
|
|
|
k1!k2 !Kkm ! |
||||||||
n |
1 |
|
2 |
|
m |
|
1 |
2 |
m |
||
Пример 1. Десять занумерованных шаров случайным образом размещают по трём урнам. Найти вероятность того, что в первой урне окажется два шара, во второй – три и в третьей урне – пять шаров.
Решение. Здесь число опытов n = 10, i-й опыт заключается в помещении шара с номером i в одну из трёх урн. Каждый такой опыт может завершиться лишь наступлением одного из трёх попарно несовместных событий A1, A2, A3 – попаданий очередного шара в соответствующую
урну. Очевидно, pi = P(Ai )= 13 . Надо найти вероятность того, что в рассматриваемых 10
опытах событие A1 наступит ровно два раза (k1 = 2), событие A2 – три раза (k2 = 3), и событие A3
– пять раз (k3 = 5). Искомая вероятность
P10 |
(2, 3, 5)= |
10! |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
3 |
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
2!3!5! |
||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|||
Пример 2. В условиях предыдущего примера найти вероятность того, что в одну из урн попадёт два шара, в две другие – три и пять.
Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что в результате размещения десяти шаров по трём урнам в первой урне окажется i шаров, во второй – j, и в третьей – k
(i + j +k =10). Тогда событие, вероятность которого нужно найти, можно представить как
сумму 3! попарно несовместных событий A 235 + A 253 + A325 + A352 + A523 + A532 . Искомая вероятность, следовательно, равна
P10 (2,3,5)+ P10 (2,5,3)+ P10 (3,2,5)+ P10 (3,5,2)+ P10 (5,2,3)+ P10 (5,3,2)= 3! 210!3!!5! 3110
(учитываем, что вероятности, входящие в сумму, равны).
Литература.
1)Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей.
2)Ширяев А. Н. Вероятность.
3)Свешников А. А. и др. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций.