ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

УДК 519.2

Г. М. Бездудный, В. А. Знаменский, Н. В Коваленко, В. Е. Ковальчук, А. И. Луценко, В. В. Рындина

Задачи по теории вероятностей. Часть 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса, схема Бернулли. Методические указания к решению задач для студентов всех специальностей и всех форм обучения механико-математического факультета РГУ.

Печатается по постановлению кафедры теории функций и функционального анализа механикоматематического факультета РГУ.

Протокол № от 2001 г.

Ответственный за выпуск – доктор физико-математических наук, профессор Кондаков В. П.

Цель настоящей работы – помочь студентам в приобретении навыков по решению задач по теории вероятностей. В начале каждого раздела приводится необходимый теоретический материал, после чего подробно рассматривается большое число типовых примеров.

© Коллектив авторов

Вероятности суммы и произведения событий

Для любых двух случайных событий A и B справедливо: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB);

P(AB) = P(A)P(B/A).

Если случайные события A и B несовместные, то

P(A+B) = P(A)+P(B).

Если случайные события A и B независимые, то

P(AB) = P(A)P(B).

Формулы вероятностей суммы и произведения событий обобщаются на любое конечное число случайных событий. В частности:

P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC);

P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB).

Вероятность некоторого случайного события D может быть вычислена с помощью этих формул, если ввести более простые события, например: A1, A2, B1, B2, вероятности которых либо даны в условии задачи, либо легко вычисляются. Событие D с помощью алгебраических операций над множествами представляется в виде комбинации введенных событий. Пусть, например, D = A1B2 + A2B1. Тогда P(D) = P(A1B2 + A2B1). Решив вопрос о совместности или несовместности случайных событий-слагаемых, записываем, чему равна вероятность суммы A1B2 и A2B1. Определив, зависимыми или независимыми будут события-сомножители, записываем, чему равны вероятности произведений. Например, если события A1B2 и A2B1 – несовместные, а пары A1, B2 и A2, B1 – зависимые события, получим:

P(D) = P(A1B2) + P(A2B1) = P(A1)P(B2/A1) + P(A2)P(B1/A2).

Пример 1. В библиотеке на стеллаже в случайном порядке расставлены десять учебников по экономике и пять – по математике. Библиотекарь наудачу берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников будет по математике.

Способ первый. Очевидно, что случайное событие D – ни один из взятых учебников не будет по математике. Тогда D + D = U – достоверное событие. P(D + D ) = P(U) = 1. События D

и D – несовместные, следовательно, P(D) + P( D ) = 1. С помощью классического определения вероятности вычисляем: P( D ) = C103 : C153 = 2491. Тогда P(D) = 1 – P( D ) = 1 – 24/91 = 67/91.

Способ второй. Пусть случайное событие A – один из трёх учебников – по математике, случайное событие B – два из трёх взятых учебников – по математике и случайное событие C – три взятых учебника – по математике. Тогда случайное событие D можно представить в виде суммы трёх введённых событий: D = A + B + C. События A, B и C – несовместные, то есть не могут одновременно произойти. Тогда P(D) = P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C). Применяя

Способ третий. Пусть случайное событие Ai – i-й взятый учебник является учебником по математике. Тогда D = A1 + A2 + A3. Так как события Ai – совместные, то

P(D) = P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1A2) – P(A1A3) – P(A2A3) + P(A1A2A3).

P(A1) = P(A2) = P(A3) =1/3. События Ai – зависимые, поэтому P(A1A2) = P(A1)P(A2/A1) = 5/15 4/14 = 2/21. Так же вычисляются и P(A1A3), P(A2A3). Наконец, P(A1A2A3) = P(A1)P(A2/A1) P(A3/A1A2) = 5/15 4/14 3/13 = 2/91. Следовательно,

P(D) = 3 1/3 – 3 2/21 + 2/91 = 67/91.

Пример 2. Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для стрелков соответственно равны p1=0,7 и p2=0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишени будет: а)одно попадание; б)не менее одного попадания.

Решение. Случайное событие A – в мишени одно попадание, случайное событие B – в мишени не менее одного попадания. Введём случайные события: C1 – в мишень попал первый стрелок, C2 – в мишень попал второй стрелок. Тогда, очевидно,

A= C1 C2 + C1C2 ; B = C1 C2 + C1C2 +C1C2 .

Вобеих формулах случайные события-слагаемые – несовместны, а случайные событиясомножители – независимы, так как вероятность попадания в мишень каждого из стрелков не зависит от результата стрельбы другого стрелка. Поэтому

P(A) = P(C1 C2 ) +P(C1C2 ) = P(С1 ) P(С2 ) +P(С1 ) P(С2 ) = 0,7 0,2 +0,3 0,8 = 0,38.

P(B) = P(C1 ) P(C2 ) +P(C1 ) P(C2 ) +P(C1 ) P(C2 ) = 0,7 0,2 +0,3 0,8 +0,7 0,8 = 0,94 .

Случайное событие B можно представить и так: B = C1 + C2. Так как события C1 и C2 совместны, но независимы, то в этом случае

P(B) = P(C1) + P(C2) – P(C1)P(C2) = 0,7 + 0,8 – 0,7 0,8 = 0,94.

Вероятность события B можно определить также, вычислив сначала вероятность противоположного события B . Так как B = C1 C2 , то P( B ) = P( C1 )P( C2 ) = 0,3 0,2 = 0,06. Тогда

P(B) = 1 – 0,06 = 0,94.

Пример 3. В первой урне находятся три белых, пять красных и семь синих шаров, во второй урне – два белых, четыре красных и девять синих шаров. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что извлечённые шары будут одного цвета.

Решение. Случайное событие D – извлечённые шары одного цвета. Введём ещё шесть случайных событий:

Ai – из i-ой урны извлекли шар белого цвета; Bi – из i-ой урны извлекли шар красного цвета;

Ci – из i-ой урны извлекли шар синего цвета; i = 1, 2.

Вероятности этих событий легко вычисляются по классическому определению вероятности. Очевидно, что шары будут одного цвета, если они будут оба или белого, или красного, или синего цвета. Значит, D = A1A2 + B1B2 + C1C2. Ясно, что события-слагаемые несовместны, а события-сомножители независимы. Следовательно,

P(D) = P(A1A2) + P(B1B2) + P(C1C2) = P(A1)P(A2) + P(B1)P(B2) + P(C1)P(C2) = = 153 152 +155 154 +157 159 = 22589 .

Пример 4. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Не применяя классическое определение вероятности, определить вероятность того, что: a)студент знает все три предложенные ему вопроса; б)студент не знает лишь второй из трёх предложенных ему вопросов; в)студент не знает только один из трёх предложенных ему вопросов.

Решение. Введём обозначения: событие A – студент знает три вопроса; событие B – студент не знает второй вопрос; событие C – студент не знает один из трёх вопросов; событие Di – студент знает i-й предложенный ему вопрос (i = 1, 2, 3). Тогда события A, B и C можно представить так:

A = D1D2D3, B = D1 D 2D3, C = D 1D2D3 + D1 D 2D3 + D1D2 D 3.

События D1, D2 и D3 являются зависимыми, потому что вероятность знания или незнания каждого следующего вопроса изменяется в зависимости от осуществления или неосушествления предыдущего события. Поэтому

P(A) = P(D1D2D3) = P(D1)P(D2/D1)P(D3/D1D2) = 2025 1924 1823 = 11557 .

P(B) = P(D1 D 2D3) = P(D1)P( D 2/ D1)P(D3/ D1 D 2) = 2025 245 1923 = 13814 .

При нахождении вероятности события C учтём, что слагаемые – несовместные события. P(C) = P( D 1D2D3) +P(D1 D 2D3) + P(D1D2 D 3) =

255 2024 1923 + 2025 245 1923 + 2025 1924 235 = 3 13819 = 13857 .

Пример 5. Какова вероятность того, что наудачу взятое натуральное число не делится: а)ни на два, ни на три; б)на два или на три?