Пример 2. Найти вероятность того, что герб выпадет не менее трёх раз при десятикратном подбрасывании монеты.

Решение. Если через k обозначить число выпадений герба при десятикратном подбрасывании монеты, то искомая вероятность P10(3 ≤ k ≤ 10) может быть найдена по формуле

(1)

Проще, однако, вычислить вероятность противоположного события P10(0 ≤ k ≤ 2) и воспользоваться соотношением

P10(3 ≤ k ≤ 10) = 1 − P10(0 ≤ k ≤ 2).

Пример 3. В урне 2 белых и 3 чёрных шара. Производится 10 извлечений шаров из урны по два шара каждый раз с последующим возвращением извлечённой пары шаров в урну. Найти вероятность того, что ровно при двух извлечениях будет вынута разноцветная пара шаров.

Решение. Здесь опыт заключается в извлечении пары шаров из урны. Число опытов n = = 10. Событие A – появление разноцветной пары шаров. Его вероятность

Пример 4. В ружейной пирамиде имеются винтовки двух систем: одна винтовка типа 1 и две винтовки типа 2. Вероятность попасть в мишень при выстреле из винтовки типа 1 равна p1, из винтовки типа 2 – p2. Стрелок производит 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки. Чему равна вероятность того, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз?

Решение. Обозначим через B событие, состоящее в том, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз при семи выстрелах из наудачу взятой винтовки. Естественно рассмотреть две гипотезы: H1 – выстрелы произведены из винтовки типа 1 и H2 – выстрелы были сделаны из винтовки типа 2. Гипотезы H1 и H2 несовместны и одна из них обязательно реализуется, т. е., H1 и H2 образуют полную группу. Тогда по формуле полной вероятности

Подставив найденные значения для P(H1), P(H2), P(B/H1), P(B/H2) в (2), находим P(B). Пример 5. Пусть в ружейной пирамиде находятся две винтовки типа 1 и три – типа 2,

причём вероятности попадания в мишень из этих винтовок соответственно равны p1 и p2. Стрелок сделал 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки, ровно 5 раз поразив мишень. Чему равна вероятность того, что он стрелял из винтовки типа 1?

Решение. Пусть H1 означает, что выстрелы были сделаны из винтовки типа 1, H2 – из винтовки типа 2. Вероятности этих гипотез (до проведения эксперимента) P(H1)=2/5, P(H2)=3/5. Пусть теперь событие B означает, что стрелок, сделав 7 выстрелов, поразил мишень ровно 5 раз. Нужно вычислить вероятность гипотезы H1 с учётом дополнительной информации о том,

Для вычисления P(B/H1) и P(B/H2) воспользуемся формулой Бернулли. P(B/H1) есть вероятность того, что в серии из семи опытов (выстрелов) событие A (попадание в мишень) наступило ровно пять раз, если стреляли из винтовки типа 1 (в этом случае p = P(A) = p1). Следовательно, по формуле Бернулли

P(B/H1) = C57 p15 q12 , q1 = 1 – p1.

Аналогично,

P(B/H2) = C57 p25 q22 , q2 = 1 – p2.

Подставляя найденные значения P(B/H1) и P(B/H2) в (3), получим:

Пример 6. Вероятность забросить мяч в корзину для баскетболиста равна 2/3. Сколько нужно сделать бросков, чтобы с вероятностью не менее 0,95 быть уверенным в том, что мяч хотя бы один раз окажется в корзине?

Решение. Если сделано n бросков, то вероятность попасть в корзину хотя бы один раз проще всего получить, вычислив предварительно вероятность противоположного события. Последнее состоит в том, что в серии из n опытов (бросков в корзину) интересующее нас событие A (попадание в корзину) не произойдёт ни разу. По формуле Бернулли эта вероятность

трём.

Заметим, что вероятность промахнуться n раз при n бросках можно было, конечно, найти с помощью теоремы умножения вероятностей.

Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли.

Пусть, как и раньше, Pn(k) есть вероятность того, что событие A наступит ровно k раз в серии из n испытаний Бернулли, и требуется отыскать то число k наступлений события A, которому отвечает наибольшая вероятность Pn(k). Тогда искомыми являются значения k, принадлежащие сегменту [np – q, np + p]. Если при этом число np – q нецелое, то сегмент [np – q, np + p] содержит единственную целочисленную точку k0, np – q < k0 < np + p, и для неё Pn(k) < Pn(k0),

k ≠ k0. Если np – q – целое, то на сегменте [np – q, np + p] находятся две целочисленных точки k1 = np – q и k2 = np + p; при этом Pn(k1) = Pn(k2) и Pn(k) < Pn(k1) = Pn(k2), если k отлично от k1 и k2.

Отметим, что в литературе часто используется следующая терминология: если в данном опыте (испытании) наступает событие A, то говорят об успехе, в противном случае – о неудаче. С этой точки зрения любая целочисленная точка сегмента [np – q, np + p] является наиболее вероятным (наивероятнейшим) числом успехов в серии из n испытаний Бернулли.

Пример 1. Каково наиболее вероятное число выпадений грани с одной точкой при 26 подбрасываниях игральной кости? Чему равна соответствующая этому числу выпадений вероятность?

Решение. Здесь число n опытов (подбрасываний кости) равно 26, p – вероятность выпадения грани с одной точкой равна 1/6, q =1 – p =5/6. В рассматриваемом случае np – q

= 266 − 56 = = 3,5 – нецелое число, единственное искомое наивероятнейшее число k0 выпадений

грани с одной точкой определяется из условий np – q < k0 < np + p, в нашем случае 3,5 < k0 < 4,5, т. е.,

k0 = 4. (Отметим также, что при нецелом np – q k0 всегда является ближайшей к числу np – q целочисленной точкой справа). Вероятность P26(4) может быть найдена по формуле Бернулли

Пример 2. Вероятность попадания в цель при выстреле из каждого из двух орудий равна 2/3. Залп из двух орудий считается успешным, если хотя бы один снаряд попадёт в цель. Произведено 8 залпов. Каково наиболее вероятное число успешных залпов?

Решение. Вероятность успешного залпа найдём, вычислив предварительно вероятность противоположного события – двух промахов при залпе из двух орудий. Она равна 13 13 = 91 ,

следовательно, вероятность успешного залпа p =1− 91 = 89 . Кроме того, число залпов n = 8 и q = = 1 – p = 19 . Тогда np −q = 8 89 − 91 = 639 = 7 – целое. Значит, 7 и 8 (8 = np + p) успешных залпов

наиболее вероятны (оба случая имеют равную вероятность).

Пример 3. Каким должно быть число подбрасываний игральной кости, чтобы наивероятнейшее число выпадений грани с единицей оказалось равным 5?

Решение. Искомое число подбрасываний n должно быть таким, чтобы значение k = 5

принадлежало сегменту [np – q, np + p]. В рассматриваемом случае p = 16 , q = 56 ,

следовательно, n определяется из неравенств n6 − 56 ≤ 5 ≤ n6 + 16 , откуда находим 29 ≤ n ≤ 35.