Системы счисления

Система счисления задает правила записи чисел. Из истории известно много примеров использования разных систем счисления или нумерации. Все виды нумерации можно разделить на две группы: непозиционные и позиционные. В позиционной системе вклад каждой цифры в число зависит от позиции (разряда), в которой эта цифра находится. Количество разных цифр, которые можно использовать для записи чисел в позиционной системе, называется основанием системы счисления.

Величину любого числа, заданного в позиционной системе счисления с основанием p, можно представить в виде полинома относительно p

,

где – отдельные цифры заданного числа, для которых выполняется условие Если , то для записи можно использовать десятичные цифры. Например, При возрастании p приходится добавлять специальные знаки, обозначающие величины больше 9:

Перевод чисел из системы с основанием p в систему с основанием 10. Если вычислить значение полинома по правилам десятичной арифметики, то получится величина того же числа в десятичной системе счисления.

Например, 341₅ = 3*5² + 4*5 +1 = 3*25 + 20 + 1 = 96₁₀;

5А9₁₆ = 5*16² + А*16 + 9 = 5*256 + 10*16 + 9 = 1449.

Ниже приведена таблица соответствия для 8- и 16-ричной систем счисления:

Группа двоичных разрядов	8-ричная цифра (число)	16-ричная цифра	Десятичное число
0000	0	0	0
0001	1	1	1
0010	2	2	2
0011	3	3	3
0100	4	4	4
0101	5	5	5
0110	6	6	6
0111	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	A	10
1011	13	B	11
1100	14	C	12
1101	15	D	13
1110	16	E	14
1111	17	F	15

Основы алгебры логики. Логические выражения и операции

Логика - наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других высказываний (утверждений). Логика изучает методы доказательств и опровержений. Логика составляет основу всякого управления, в том числе технологическими процессами.

Математическая логика - современная форма логики, опирающаяся на формальные математические методы.

Основные объекты логики - высказывания, то есть предложения, которые могут быть либо истинными, либо ложными. Существуют два подхода установления истинности высказываний: эмпирический (опытный) и логический. При эмпирическом подходе истинность высказываний устанавливается на основе наблюдений, экспериментов, документов и других фактов. При логическом подходе истинность высказываний доказывается на основе истинности других высказываний, то есть чисто формально, на основе рассуждений без обращения к фактам.

Алгебра – это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, но и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями. Такая алгебра называется алгеброй логики. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.

Можно определить понятия логической переменной, логической функции и логической операции.

Логическая переменная – это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Её символическое обозначение – латинская буква (например, A,B,X,Y и т. д). значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (0 и 1).

Составное высказывание – логическая функция, которая содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. Ее символическое обозначение – F(A,B,…).

На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания.

Логические операции – логические действия.

Для логических данных используют специальные операции, которые тоже называются логическими. В выражениях эти операции могут обозначаться разными способами.

Название операции	Альтернативные названия	Знаки	Примеры
Конъюнкция	Логическое умножение, Логическое И	Λ & and	A Λ B A & B A and B
Дизъюнкция	Логическое сложение, Логическое ИЛИ	V | or	A V B A | B A or B
Отрицание	Инверсия	¬ not	¬A not A
Следование	Импликация	→	A →B
Эквивалентность	Тождество	≡	A ≡ B

Если составное высказывание (логическую функцию) выразить в виде формулы, в которую войдут логические переменные и знаки логических операций, то получится логическое выражение, значение которого можно вычислить. Значением логического выражения могут быть только ЛОЖЬ или ИСТИНА. При составлении логического выражения необходимо учи­тывать порядок выполнения логических операций, а именно:

1) действия в скобках;

2) инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

Рассмотрим три базовые логические операции – конъюнкцию, дизъюнкцию, и отрицание и дополнительные – импликацию и эквивалентность.

Логическая операция	Название	Соответствует союзу	Обозначение знаками	Таблица истинности	Логическая операция
Инверсия (от лат. inversion – переворачиваю)	отрицание	не А		А 1 0 0 1	Опр. Инверсия логической переменной истина, если переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна.
Конъюнкция (от лат. conjunction – связываю)	Логическое умножение	А и В		А В 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0	Опр.Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания, истинны.
Дизъюнкция (от лат. disjunction – различаю)	Логическое сложение	А или В		А В 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0	Опр. Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Импликация (от лат. implication – тесно связывать)	Логическое следование	Если А, то В; Когда А, тогда В	А–условие В-следствие	А В 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1	Опр. Импликация двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда из истинного основания следует ложное следствие.
Эквивалентность (от лат. equivalents - равноценность)	Логическое равенство	А тогда и только тогда, когда В		А В 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1	Опр. Эквивалентность двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны