Билет 1

Дать определение чему-либо, значит объяснить что это такое.

Теоремой называется предложение о свойствах фигуры, истинность которых устанавливается в результате рассуждений. Эти рассуждения называются доказательствами.

Аксиома – это предложение, которое принимают без доказательства, истина, достойная признания. «Аксиома» - бесспорное, очевидное.

Аксиома о существовании треугольника, равного данному. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: АВС и А₁В₁С₁;

А = А₁; АВ = А₁В₁;

АС = А₁С₁.

Доказать:

АВС = А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. Пусть  а1в2с2 – треугольник, равный треугольнику авс, с вершиной в2 на луче а1в1 и вершиной с2 в той же полуплоскости относительно прямой а1в1, где лежит вершина с1.

2. Так как А₁В₁ = А₁В₂, то вершина В₂ совпадает с вершиной В₁.

3. Так как В₁А₁С₁ =  В₂А₁С₂, то луч А₁С₂ совпадает с лучом А₁С₁.

4. Так как А₁С₁ = А₁С₂, то вершина С₂ совпадает с вершиной С₁.

5. Треугольник а1в1с1 совпадает с треугольником а1в2с2, а значит ,равен треугольнику авс.

Билет 2

Аксиома принадлежности точек прямой. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие данной прямой, и не принадлежащие данной прямой.

Аксиома прямой. Через две различные точки можно провести прямую и притом только одну.

Прямую обозначают строчной латинской буквой или двумя прописными латинскими буквами: CD = b

Опр 1 Прямая, перпендикулярная к отрезку и проходящая через его середину, называется серединным перпендикуляромкданному отрезку.

Свойство серединного перпендикуляра (прямая теорема). Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Доказательство:

Пусть дан отрезок АВ и серединный перпендикуляр к нему n, пересекающий отрезок АВ в точке С. Возьмем произвольную точку D на серединном перпендикуляре n и соединим ее с концами отрезка АВ отрезками AD и BD.

Рассмотрим полученные треугольники AСD и ВCD.

AСD = ВCD = 90°;

АС = CВ (n – серединный перпендикуляр);DС – общая; AСD = ВCD (как прямоугольные по двум катетам).

 АD = ВD.

Билет 3.

На плоскости прямые либо пересекаются, либо параллельны.

Опред 1. Две прямые, не имеющие общих точек и лежащие в одной плоскости, называются параллельными. пишут: a II b.

Опред 2. Две прямые, имеющие только одну общую точку, называются пересекающимися.Если прямые c и d пересекаются, то пишут: с ∩ d = {T).

Опред 3. Скрещивающиеся прямые, это прямые, которые не пересекаются и не параллельны и лежат в разных плоскостях.

Аксиома. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство:

Опред 1. Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а общее начало лучей – вершиной угла.

Определение 2. Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Свойство биссектрисы угла (прямая теорема). Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

Доказательство:

Пусть дан угол со сторонами m и n и вершиной А, где b – биссектриса угла.

Возьмем произвольную точку D на биссектрисе b и опустим из нее перпендикуляры на стороны m и n. Рассмотрим полученные треугольники ABD и ACD.

ABD = ACD = 90°;

BAD = CAD (b – биссектриса);

AD – общая;

ABD = ACD (как прямоугольные по гипотенузе и острому углу).

 BD = CD.

Билет 4.

Опред 1 Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком.

Т акой отрезок обозначают АВ или ВА.

Точки А и В называются концами отрезка, а все другие точки отрезка называются его внутренними точками.

Аксиома расположения точек на прямой.

Из трех различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Опред2.Длина отрезка – это расстояние между концами данного отрезка.

Опред3.Точкаотрезка, делящая его пополам, на два равных отрезка, называется серединой отрезка.

Опред 1.Две прямые называются перпендикулярными , если они пересекаются под прямым углом.

Перпендикулярность прямых обозначается следующим образом:

Опред2. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Теорема. Через всякую точку прямой можно провести прямую, перпендикулярную к данной прямой, и притом только одну.

Дано: АВ – прямая,

Доказать:

1) существование перпендикуляра;

2) единственность перпендикуляра.

Доказательство:

1) От луча ОВ в заданную полуплоскость можно отложить согласно аксиоме откладывания углов.

2) Докажем, что ОР – единственная прямая, перпендикулярная АВ.

3) Допустим, что существует луч ОС, причем и ОС лежит в одной полуплоскости с лучом ОР.

4) Тогда

Но от данной полупрямой в данную полуплоскость согласно аксиоме откладывания углов можно отложить только один угол заданной градусной меры. Следовательно, луч ОР совпадает с лучом ОС, что и требовалось доказать.

Билет 5.

Опред1. Расстоянием между двумя точками является длина отрезка, соединяющего эти точки на плоскости. Длина отрезка АВ – расстояние между точками А и В.

Опред2. Две отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину.

Аксиомы измерения отрезков:

Каждый отрезок имеет положительную длину. Длина отрезка равна сумме длин двух частей, не которые он разбивается любой его точкой.

Опред 1. Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья сторона – основанием. Общая вершина двух равных (боковых) сторон называется вершиной равнобедренного треугольника.

Определение 2. Равносторонним (или правильным) называется треугольник, у которого все стороны равны.

Теорема 1 (о свойстве углов равнобедренного треугольника). Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС.

Доказать: А = С.

Доказательство: