15

Курс теоретической физики проф. А.И. Копелиовича

Краткое техническое введение

Этот курс готовился вначале как конспект, имеющий целью помочь мне при чтении лекций, его издание для студентов не предусматривалось. Этим объясняется разговорный стиль текста, написанного обычным шрифтом. Крупным шрифтом написаны формулировки, предназначавшиеся для записи студентами под диктовку, это те формулировки, знание и понимание которых студентами будет проверяться.

Из-за компьютерных трудностей мне пришлось допускать некоторые искажения в формулах. Точка над величиной, обозначающая ее полную производную по времени, ставится мною не над, а справа от обозначения величины вверху; индексы, по которым ведется суммирование, ставятся не под знаком суммы, а справа внизу; черта, означающая усреднение величины, изображается снизу. Другие отступления от обычных форм записи будут указываться по мере их использования.

Перечитывая текст лекций, я замечаю вкравшиеся ошибки. Буду благодарен студентам за указание на пока не замеченные мною.

Копелиович.

Вступительное слово

Сначала хочу ответить на вопрос, который можно ожидать. Ведь физику вы уже изучали, там была и механика, и электромагнетизм, и все другие разделы. Зачем же нужна еще какая-то особая теоретическая физика? А это просто другой подход к тому же самому, другой взгляд, который, как оказывается, позволяет увидеть много нового. Это желание увидеть за разрозненными явлениями общие закономерности и, таким образом, понять. Вот вам хрестоматийный пример: Фарадей установил опытным путем закономерности электромагнитных явлений, Максвелл нашел те уравнения, которые их описывают, Лоренц заметил некоторые математические свойства этих уравнений и, наконец, Эйнштейн понял, что за этими свойствами скрываются новые, совершенно неожиданные свойства пространства и времени. Это, наверное, самый впечатляющий пример продвижения от физики экспериментальной к вершинам физики теоретической. Но не подумайте, что я хочу как-то принизить физику экспериментальную, вся физика – единое строение. И хотя существует разделение физиков на экспериментаторов и теоретиков (оно особо четкое у нас, в странах бывшего Союза), но и тем, и другим нужно чувствовать всю физику, иначе и тот, и другой окажется неполноценным физиком.

Моя формулировка: теоретик, это человек, который взвалил на себя бремя все понимать.

Пытаясь найти самые общие закономерности, мы неизбежно приходим к необходимости более формализованного, а, значит, более математического способа описания явлений. Многих это затрудняет и даже отвращает от теорфизики. Но что поделаешь, если вы занимаетесь географией, то вам придется овладевать языком карт вместо языка пейзажей. Так вот, математика – это естественный язык теоретической физики. Но это не означает, что теоретик чуждается простых картинок, мысленных экспериментов, совсем наоборот.

Следующее мое утверждение – это, возможно, профессиональная гордыня. В моем представлении теоретическая физика – это высшее создание человеческого интеллекта. На эту роль претендует и математика, но математика претендует, прежде всего, на строгость рассуждений, у теорфизики же более гибкий и прагматичный подход.

Специфика теоретической физики весьма ясно проступает уже в первой исторически ее части: теоретической механике. Итак я приступаю к изложению именно этого раздела курса.

Механика

Как будто бы нам все уже известно. Движение тел описывается законами Ньютона, второй закон имеет следующий векторный вид (с векторами проблем нет?)

dv/dt  v^. = F/m

Это 2-й закон, 1-й определяет ту систему отсчета, в которой он справедлив – инерциальная система, которую проще всего связать с телом, которое находится очень далеко от других тел и поэтому с ними не взаимодействует. 3-й закон говорит, что если я буду писать эту формулу для другого из двух взаимодействующих тел, то сила взаимодействия там будет обратной по знаку. И все, зная начальные условия, решая эти уравнения (их столько, сколько взаимодействующих тел в системе), я найду все, что нужно, т.е. уравнения движения всех тел. Что же еще?

Но допустим, тело намертво прикреплено к направляющей, которая имеет произвольную форму, и еще на него действует какое либо поле. Как будем применять 2-й

закон? Нужно в каждой точке раскладывать действующую силу на составляющие вдоль и поперек направляющей и учитывать, что направляющие оси непрерывно меняются. В общем, замучаешься так решать задачу. Это неудачный метод и неудачен он тем, что не учитывает внутренней простоты задачи – здесь же только одна переменная – длина пути вдоль направляющей (и скорость движения вдоль нее). Так вот, теорфизический метод, который я буду рассказывать, имеет дело не конкретно с декартовыми координатами, как уравнения Ньютона, а с обобщенными, в качестве которых могут выступать любые переменные, определяющие положения тел.

Любые s величин q₁, q₂ … q_s , вполне характеризующие положение системы (с s степенями свободы), называют ее обобщенными координатами, а их производные по времени – обобщенными скоростями.

Т.е. речь идет о достижении большей общности описания. А это приводит к более общему взгляду на механику в целом, что дает возможность перекинуть мостик от механики к оптике, к квантовой механике – это мы увидим в следующих курсах. Уравнения Ньютона такого не дают.

В качестве лирического отступления, об источнике, по которому построен мой курс (и вам им тоже не мешало бы пользоваться). Это великий (не побоюсь этого слова) курс теоретической физики Ландау и Лифшица. При всем уважении к курсу и к авторам сразу нужно признать, что у начинающих чтение этого курса часто развивает комплекс неполноценности. Из-за стиля, которому строго следуют авторы. Предполагается, что читатель находится на уровне авторов по уровню абстрактного мышления, поэтому не допускаются никакие разжевывания, простые примеры, лишние слова. Стиль предельно лаконичный. Я же считаю полезными для понимания наглядные картинки, примеры, постараюсь вносить в абстракцию некоторую лирику.

Так вот, зададимся вопросом, какие пути выбирает природа для движения тел из многих возможных. Допустим, мы знаем, что тело вышло из этой точки и пришло в эту. В принципе, ничего не зная, мы могли бы предположить, что оно двигалось по сколь угодно сложной кривой. Но мы знаем, что природа выбирает прямую (ну, если,

конечно, не действуют никакие силы), т.е. из всех кривых ту, длина которой минимальна. (Прямая – кратчайшее расстояние между двумя точками.) Световой луч также движется по прямой, а если среда оптически неоднородна, например, слой стекла (рисунок), то луч между двумя точками движется так, чтобы время движения было минимальным – принцип Ферма. Т.е. мы догадываемся, что в природе заложен принцип минимальности какой-то величины при выборе пути движения. Так вот, ирландец Гамильтон, анализируя в 19 веке аналогии между механикой и оптикой, понял, что такой величиной, которая должна быть минимальной для реальных траекторий, является действие.

Действие – это фундаментальная физическая величина, являющаяся интегральной характеристикой (функционалом) процесса (реального или воображаемого), происходящего с физической системой.

Под процессом понимается путь перехода системы между фиксированными начальным и конечным ее состояниями.

Действие: S = _t1^t2 L(q,q^.,t)dt, (1)

(таким странным способом приходится изображать пределы интегрирования)

функция координат, скоростей и времени L называется функцией Лагранжа данной системы (для упрощения записи написана одна координата и одна скорость). Принцип наименьшего действия: между заданной начальной координатой (набором координат) q(t₁), в

которой система находилась в начальный момент времени, и заданной конечной координатой q(t₂) система движется таким образом, чтобы интеграл (1) действие имел наименьшее возможное значение. Иными словами, из всех мыслимых зависимостей координаты q в функции Лагранжа от времени (при фиксированных начальной и конечной точках) должна быть выбрана такая, при которой действие имеет наименьшее значение. Таким образом, найдя минимум действия, мы определим зависимость q(t), т.е. уравнение движения.

Заметим, что конкретный вид функции Лагранжа мы еще не установили, т.е. мы построили самую общую конструкцию, которая пока не уточняет, с какими конкретно системами мы работаем.

А как этот минимум реально находить? Вспомним, как находят минимум функции – рассматривают малые приращения. Вот и придадим функции q(t) малое приращение, т.е. возьмем функцию такого вида

q(t) + q(t), q(t) – малое приращение либо вариация функции q(t). Поскольку концы фиксированы, q(t₁) = q(t₂) = 0. Найдем изменение действия при вариации функции q(t). Действуем как при вычислении дифференциала функции двух переменных, со значком

 обращаемся как со значком дифференциала d по смыслу это почти то же – малое приращение

S = _t1^t2 Ldt = _t1^t2((L/q) q + (L/q^.) q^.)dt

Преобразуем второе слагаемое, интегрируя по частям:

S = (L/q^.) q| _t1^t2 + _t1^t2[(L/q) – (d/dt) (L/q^.)] qdt (1,5)

внеинтегральный член равен нулю из-за фиксированности концов.

Если q(t) – это истинное уравнение движения, то S имеет здесь минимум, а в точке экстремума S его малое приращение равно нулю (мы же это знаем из математического анализа): S = 0. Поскольку это равенство должно быть справедливо при любой функции q(t), то нулю должно быть равно выражение в квадратных скобках (интеграл от произведения некоторой функции на произвольную равен нулю – только если первая равна нулю при всех значениях переменной):

(L/q_i) – (d/dt) (L/q_i^.) = 0 (2)

Тут вспомним, что мы для простоты писали одну координату, а их много. Эти дифференциальные уравнения, из которых следуют уравнения движения, называются уравнениями Лагранжа. Опять напомню, что функцию Лагранжа эль мы еще не определили, поэтому что из (2) следует, пока не знаем.

Ландау с Лифшицем в своем курсе как бы выводят функцию Лагранжа из некоторых общих соображений, тем самым только усиливая комплексы у читателя. У них нередко звучит примерно так: нам ясно, что по тем-то и тем соображениям может быть только так. А бедный читатель стесняется признаться, что ему это не ясно. Я поступлю иначе, просто напишу ее, а потом проверим, следуют ли из нее ранее известные вещи.

Функция Лагранжа системы материальных точек:

L = _am_av_a²/2 – U(r₁, r₂, …), L = T - U (3)

индекс a нумерует материальные точки, r_a – радиус-вектор а-ой точки, v_a  r_a^. – ее скорость, U – потенциальная энергия системы. Т.е. выражение такое же, как для энергии (это кинетическая энергия), только потенциальная энергия с минусом). Вот теперь проверим, правильно ли мы угадали, подставляяя (3) в (2), получаем

m_adv_a/dt = - U/r_a

уравнения Ньютона, - U/r_a = F. Последняя формула - из обычного курса физики. Таким образом, мы подтвердили правильность всего построения.

Лекция 2

Законы сохранения. Энергия, импульс, момент импульса.

В обычном курсе физики законы сохранения различных величин возникали как следствия законов Ньютона. Я здании теорфизики законы сохранения играют более глубокую роль - они являются следствием фундаментальных симметрий пространства и времени. Начнем с энергии

Энергия (E)

Сохранение энергии является следствием однородности времени. Иными словами, законы движения одинаковы во все моменты времени. Математическое отражение этого факта – функция Лагранжа замкнутой системы (т.е. не взаимодействующей с внешними телами) не зависит от времени явно.

Через зависимость координат и скоростей в функции Лагранжа она, конечно, зависит от времени, но это неявная зависимость, а само по себе время в ней не фигурирует. Посмотрим, что из этого факта следует. Запишем полную ее производную по времени, как обычно пишется полная производная функции нескольких переменных

dL/dt = _i[(L/q_i)q_i^. + (L/q_i^.)q_i^.. + L/t] (1)

Последний член перечеркнуть. Заменяя в (1) L/q_i согласно уравнению Лагранжа (1.2) (применяемая везде далее система ссылок на формулы из предыдущих лекций: первая цифра – номер лекции, цифра после точки – номер формулы в этой лекции), получим

dL/dt = _i[q_i^. (d/dt) (L/q_i^.)+ (L/q_i^.)q_i^..] = _i[(d/dt)[(L/q_i^.)q_i^.]

Проверим в обратную сторону как производную произведения. Отсюда, перенося в одну сторону и вынося производную за знак суммы

(d/dt)[ _i(L/q_i^.)q_i^. - L] = 0

Т.о. величина в скобках не зависит от времени, т.е. сохраняется, ее и называют энергией. Запишем

E = _i(L/q_i^.)q_i^. – L = const (2)

Давайте больше конкретности придадим этому выражению, подставим сюда записанное ранее выражение (1.3) для эль. Производная от квадрата, двойки в знаменателе не будет, умножим на ку с точкой, получим удвоенную кинетическую энергию, в общем, как легко проверить, получится

E = T +U = _a m_av_a²/2 + U(r₁, r₂…) (3)

Т.е. вышли на известную школьную формулу, конкретно здесь энергия записана в обычных декартовых координатах, индекс а нумерует материальные точки. Заканчивая с энергией, заметим еще один факт: мы ведь использовали только то, что функция Лагранжа не зависит от времени явно. А это так не только для замкнутой системы, но и для находящейся в постоянном внешнем поле, ведь потенциальная энергия при этом от времени не зависит.

Энергия сохраняется для замкнутых систем и систем, находящихся в постоянном внешнем поле (поскольку в обоих случаях функция Лагранжа не зависит от времени явно).