18.Критерий устойчивости Гурвица и Михайлова(111 сабанин и 107 Ротач)

Устойчивость-способность динамич. систем возвращаться в исходное установившееся состояние после снятия внешних воздействий(возмущений).Устойчивость явл.внутренним свойством динамической системы и не зависит от точки внесения возмущения,но зависит от её параметров.Изменяя параметры можно вывести систему из устойчивого состояния и ввести её обратно.Для динамич. сист,описываемых линейн.диф.ур,устойчивость можно оценить по корням характеристического уравнения.

Гурвица

Для оценки уст-ти исп-т: алгебраич. и частотн. критерии уст-ти. Алгебраический критерий уст-ти Гурвица(1895) позволяет оценить уст-ть по коэф-ам характеристич. ур-ия: a_n·rⁿ+ a_n-1·r^n-1+..+a₁r+a₀=0.Определитель(матрица)Гурвица.(по главной диагонали последовательно записываются n коэффициентов,начиная с а1.Столбцы определителя,начиная от элементов главной диагонали,заполняются вверх по возрастающим индексам,вниз - по убывающим.Коэф. с индексом меньше нуля или больше n заполняются нулями.

Крит. уст-ти Гурвица:для уст-ти сис-мы необх. и достаточно, чтобы при a_n>0 все диагональные миноры Гурвица,составленные из коэф-ов характеристич. ур-ия были положительными.Условие границы уст-ти:Сис-ма на границе уст-ти,если Δ_n=a₀· Δ_n-1=0,если 1) a₀=0 2) Δ_n-1=0-сопряженную пару мнимых корней.

Частотный критерий уст-ти А.М.Михайлова.Характеристич. ур-ие a_n·Sⁿ+ a_n-1·S^n-1+..+a₁S+a₀=0. Полином: F(iω)= a_n·(iω)ⁿ+..+a₁· iω +a₀, F(iω)-вектор в комплексной пл-ти, при ω=var-след вектора– годограф Михайлова.

Критерий Михайлова:Сис-ма устойчива, если при изменении ω от 0 до годограф характеристич. вектора, начинаясь на положительной действительной полуоси проходит против часовой стрелки послед-но n квадрантов комплексной пл-ти, где n-порядок ДУ. Полином F(s) в виде произведения сомножителей F(s)= a₀·(s-s₁)·(s-s₂)·..·(s-s_n),где s_1,s₂..s_n-корни полинома F(s). F(iω)= a₀·( iω -s₁)·( iω -s₂)·..·( iω -s_n).Каждый из сомножителей F(iω)-вектор,совершающий поворот при изменении ω от - до + на угол π против часовой стрелки,если корень в левой полупл-ти, и на π по часовой стрелке для каждого корня справа от оси iω.

При измении ω от - до + вектор F(iω) повернется на уогл n· π. При изменении частоты от 0 до в устойчивой сист-ме Δarg(F(iω))=n·π/2 – Принцип аргумента.

19.Критерий устойчивости Найквиста(Ротач 108)

Характерист уравнение сист регулирования с отриц обр связью получается путём приравнивания знаменателя её передат ф-ии к нулю:

1 + W_рс(s) = 0. Устойчивость систем м.б. исследована с помощью критерия Найквиста; сущность этого критерия состоит в след.

Запишем: W_рс(jω) = -1. Из полученного уравнения следует, что о наличии в характеристическом уравнении замкнутой системы пары мнимых корней можно судить по КЧХ р.к.: если она проходит через точку (-1; j0) при некоторой частоте ω, то характ ур-ие з.к. будет иметь пару соответствующих мнимых корней. Меняя значения одного или неск параметров системы, можно определить границу областей в пр-ве этих параметров, где контур будет устойчивым, а где нет. Об уст-ти з.к. при той или иной вариации можно судить по виду КЧХ р.к.

Будем рассматривать левую ч. Ур-ия 1 + W_рс(s) = 0 как новую ф-ию s:

N(s) = 1 + W_рс(s). Если в контуре отсутствует запаздывание, то эту функцию после замены s = jω можно записать следующим образом:

Как легко видеть числитель – характеристич вектор замкнутого контура системы, а знаменатель – характеристический вектор разомкнутой системы, причём оним имеют одинаковую степень n, равную степени полинома D_pc(s). В соотв-ии с крит. Уст-ти Михайлова, если разомкнутый контур устойчив, вектор D_pc(s)при изменении ω от ω=0 до ω= совершит против часовой стрелки поворот на угол n*90^o (где n – степень характер ур-ия); если, кроме того, устойчив и з.к., то на такой же угол повернётся и вектор . Следовательно, суммарный угол поворота вектора N(jw) в этом сл окажется равным нулю (т.к. угол повороты частного от деления двух векторов равен разности их углов поворота).

Отсюда следует частотный критерий уст-ти з. к. Найквиста: если разомкнутый контур устойчив и общий угол поворота вектора N(jw) при изменени частоты ω от ω=0 до равен нулю, то контур останется устойчивым и после его замыкания.

Формула для вектора N(jw) м.б. представлена след образом:

N(s) = W_рс(s) – (-1), т.е. вектор N(jw) может рассматриваться как разность 2 векторов: вектора W_pc(jw) и вектора, роведённого из начала координат в точку (-1; j0). Т.о., геометрически N(jw) изображается вектором, проведённым из точки (-1; j0) к КЧХ р.к. W_рс(jw). Это позволяется дать и другую формулировку критерия: если разомкнутый контур устойчив и общий угол поворота вектора, проведённого из точки (-1; j0) к КЧХ разомкнутого контура Wрс(jw), при изменении частоты ω от ω=0 до ω= равен нулю, то контур останется устойчивым и после его замыканияю.

С геометрической точки зрения равенство нулдю общего угла поворота вектора N(jw) свидетельствует о том, что точка (-1; j0) оказывается вне пределов области, очерчиваемой годографом W_рс(jw). Поэтому рассматриваемый критерий чаще всего формулируют следующим образом: контур, устойчивый в разомкнутом состоянии, сохранит устойчивость и после замыкания, если его КЧХ в разомкнутом состоянии не охватывает точки (-1; j0).

Достоинства критерия Найквиста:

• Может быть применён и для исследованияустойчивости замкнутых контуров с запаздыванием;

• Его можно использовать, когда модель объекта получена экспериментально в виде частотных характеристик.

21. Необходимость введения запаса устойчивости. Запас устойчивости «по модулю», «по фазе», по расположению корней характеристического уравнения. Расширенные частотные характеристики и формулировки критерия Найквиста применительно к ним.

Рис. 1.

В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать систему так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости.

Согласно критерию Найквиста, чем дальше АФЧХ от критической точки (-1, j0), тем больше запас устойчивости.

Различают запасы устойчивости по модулю и по фазе.

Запас устойчивости по модулю характеризует удаление

годографа АФЧХ разомкнутой системы от критической

точки в направлении вещественной оси и определяется

расстоянием h от критической точки до точки пересечения годографом оси абсцисс (рис. 1).

Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа от критической точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом  между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.

Рис.2.

Обычно при создании системы задаются требуемыми запасами устойчивости h и , за пределы которых она выходить не должна. Эти пределы выставляются в виде сектора, вычерчиваемого вокруг критической точки, в который КЧХ разомкнутой системы входить не должна (рис.2).

Запас устойчивости по расположения корней ХУ

Рис.3.

Система имеет запас устойчивости не ниже заданного, если все корни ХУ удовлетворяют условию

где – допустимое значение корневого показателя устойчивости.

Геометрический смысл рассмотренного критерия состоит в том, что удовлетворительным с точки зрения должного критерия запаса устойчивости является контур, все корни которого расположены в комплексной плоскости слева от лучей ОА₁ и ОА₂ , проведенных в левой полуплоскости из начала координат под углом к мнимой оси (рис.3.)

Переходные процессы в дин.системе произвольного порядка представляют собой сумму элементарных компонент – каждому вещ.корню соответствует неколебательная(апериодическая) компонента вида , а каждой паре сопряжено-комплексных корней - колебательная компонента .

Для того чтобы в составе компонент перех. процесса произв. с-мы имелась компонента, обладающая заданным значением корневого показателя колебательности, следует в ХУ с-мы подставить , и можно будет построить расширенную КЧХ с-мы

Для такой системы:

Особенность РКЧХ заключается в том, что для разомкнутой системы она всегда проходит через критическую точку (-1; j0). Учитывая это, РКЧХ может быть использована для определения линии заданного запаса устойчивости. РКЧХ разомкнутой системы, формально проходя через крит.точку (-1; j0), содержит в себе информацию о запасе устойчивости, заданным степенью колебательности m.

Обощенный критерий Найквиста

Если все комплексные компоненты характеристического уравнения разомкнутого контура системы имеют корневые показатели колебательности не меньше заданного, то после замыкания контура все компоненты переходного процесса будут так же иметь значения этого показателя не ниже заданного, если расширенная КЧХ разомкнутого контура не охватит точку -1,j0

Источник:

• http://www.toehelp.ru/theory/tau/lecture10.htm

• Ротач стр.115

• Сабанин стр.129