7. Понятие математической модели. Классификация моделей в системах управления.

Построение моделей.  1)Сформулировать цели изучения системы. 2)Установить наиболее существенные для данной задачи факторы, компоненты и переменные.3)Учесть тем или иным способом посторонние, не включенные в модель факторы.4)Осуществить оценку результатов, проверку модели, оценку полноты модели.

Математич. модели ОУ:

1) расчетные на основе физич. з-нов (дифференц. уравнения);

2) основанные на экспериментальных динамич. хар-ках.

Виды моделей.  1) Функциональные модели - выражают прямые зависимости между эндогенными и экзогенными переменными.( - эндогенные переменные, их значения определяются в ходе деятельности внутренних компонент системы;- экзогенные переменные определяются пользователем и действуют на систему извне.) 2) Модели, выраженные с помощью систем уравнений относительно эндогенных величин.  3) Модели оптимизационного типа. Основная часть модели - система уравнений относительно эндогенных переменных. Цель - найти оптимальное решение для некоторого показателя.  4) Имитационные модели - весьма точное отображение процесса или явления. Математические уравнения при этом могут содержать сложные, нелинейные, стохастические зависимости.

Имитационные системы занимают в моделировании особое место. В принципе, любая модель имитационная, ибо она имитирует реальность. Основа имитации - это математическая модель. Имитационная система - это совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса, объединенная со специальной системой вспомогательных программ и информационной базой, позволяющих достаточно просто и оперативно реализовать вариантные расчеты. Таким образом, под имитацией понимается численный метод проведения машинных экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение сложных систем в течение продолжительных периодов времени, при этом имитационный эксперимент состоит из следующих шести этапов:формулировка задачи, построение математической модели,составление программы для ЭВМ,оценка пригодности модели,

планирование эксперимента,обработка результатов эксперимента.

Модели можно делить по способу измерения времени на непрерывные и дискретные. В любом случае, если в модели присутствует время, то модель называется динамической. Чаще всего в моделях используется дискретное время, т.к. информация поступает дискретно. Но с формальной точки зрения непрерывная модель может оказаться более простой для изучения. 

К математическим моделям для АСУ предъявляется ряд требований. Во-первых, математическая модель объ­екта управления должна достаточно полно (адекватно) описывать основные закономерности его функционирования. Во-вторых, должна быть ориентирована на исполь­зование определенных методов (или группы методов), с помощью которых можно найти искомое решение. В-третьих, время нахождения управляющих решений Должно быть приемлемым. При этом определенные ограничения накладываются используемой ЭВМ— ее быстродействием и объемом памяти.

Расчетные сложно сделать. По переход. хар-ке перейти к передаточн. ф-ции математически некорректно.

Д Х-динаимч. хар-ка. Критерии адекватности – минимум отклонения аппроксимирующей хар-ки от экспериментальной: в среднем – минимум среднего квадратичного отклонения; в определенных характерных точках.

Пример получения модели:

аппроксимируем кривую разгона (не переходную характерист.) для объектов с самовыравниванием (одноемкостные, двухемкостные, многоемкостные) с помощью произведения нескольких А-звеньев и звена запаздывания. Для вычисления коэф. моедли использ.:

1) значения k–коэф. передачи модели, τ₀–время запаздыв., T₀–постоянная времени объекта;

2) координаты точки перегиба t_п, h_п(t_п);

3) значение производных h_п’(t_п) и h_п”(t_п) в точке перегиба.

Для построения модели использ. критерии приближения:

1) h_а(0)=h_э(0);

2) h_а(∞)=h_э(∞);

3) h_а’(t_п)=h_э’(t_п);

4) h_а”(t_п)=h_э”(t_п).

М одель объекта удовлетворяет требованиям точности, если после подачи одних и тех же входных воздействий на систему управления с реальным объектом и систему с его моделью при оптимальном алгоритме функционирования контроллера разность выходных величин обеих систем окажется достаточно малой. Математич. модель предполагается заранее известной и может быть использована для определения алгоритма ф-циониров. контроллера (алгоритм управл.) При построении модели объекта и контроллера следует, когда это возможно, стремиться к составлению линейных математических моделей.

Имитационная математич. модель: y_э – экспериментальное значение; y_р – реакция; e – точность (ошибка).