17. Генеральная и выборочная совокупности.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качествен¬ного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным—контролируемый размер детали.  Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению. Различают генеральную и выборочную совокупности:  Генеральной совокупностью называют совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, или совокупность результатов всех мыслимых наблюдений, проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов.  Замечание: Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки.  Выборочной совокупностью называют часть отобранных объектов из генеральной совокупности.  Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки п =100.  Число объектов генеральной совокупности N значительно превосходит объем выборки n.

18. Средняя арифметическая

Самым распространенным видом средней является средняя арифметическая. Средняя арифметическая простая Простая среднеарифметическая величина представляет собой среднее слагаемое, при определении которого общий объем данного признака в совокупности данных поровну распределяется между всеми единицами, входящими в данную совокупность. Так, среднегодовая выработка продукции на одного работающего — это такая величина объема продукции, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь объем выпущенной продукции в одинаковой степени распределялся между всеми сотрудниками организации. Среднеарифметическая простая величина исчисляется по формуле: Простая средняя арифметическая — Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности Средняя арифметическая взвешенная Если объем совокупности данных большой и представляет собой ряд распределения, то исчисляется взвешенная среднеарифметическая величина. Так определяют средневзвешенную цену за единицу продукции: общую стоимость продукции (сумму произведений ее количества на цену единицы продукции) делят на суммарное количество продукции. Представим это в виде следующей формулы: • — цена за единицу продукции; • — количество (объем) продукции; Взвешенная средняя арифметическая — равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков).Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.

19. И 20. СВОЙСТВО 1. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПОСТОЯННОЙ величины равно этой постоянной. Пусть при исследовании признака x он n раз принимал одно и то же значение c. Тогда Свойство 2. Если каждое значение признака Z равно сумме (разности) значений признаков X и Y, то среднее арифметическое признака Z равно сумме (разности) средних арифметических признаков X и Y. Обозначим i-е варианты признаков X, Y, Z через xi, yi, zi. По условию xi + yi = zi. Тогда Аналогично доказывается свойство и в случае разности. Например, из этого свойства вытекает, что если контрольная работа по геометрии состоит из двух сюжетных задач, то среднее время, которое идет на выполнение контрольной работы, равно сумме средних времен, которые расходуются на выполнение первой и второй задач. Свойство 3. Если ко всем вариантам прибавить одно и то же число, то и к среднему арифметическому будет прибавлено то же число. Пусть - новые варианты, полученные после прибавления к каждой первоначальной варианте xi одного и того же числа c. Тогда Рассмотренное свойство позволяет значительно упростить вычисление среднего арифметического без использования вычислительных средств, особенно тогда, когда варианты принимают большие значения. Это свойство обосновывает произвольный выбор начала отсчета. Свойство 4. Если все варианты умножить (разделить) на одно и то же число, то среднее арифметическое умножится (разделится) на то же число. Пусть - новые варианты, полученные после умножения каждой первоначальной варианты xi на одно и то же число c. Тогда На основании этого свойства можно изменять единицы, в которых выражаются данные. Свойство 5. Если все частоты умножить (разделить) на одно и то же число, то среднее арифметическое не изменится. Пусть - новые частоты, полученные после умножения каждой первоначальной частоты ni на одно и то же число c. Тогда На основании этого свойства при вычислении среднего частоты можно заменять, например, относительными частотами. Свойство 6. Сумма отклонений вариант от их среднего арифметического равна нулю. Отклонение варианты xi от среднего арифметического равно разности . Тогда Свойство 7. Сумма квадратов отклонений вариант от их среднего арифметического меньше суммы квадратов отклонений вариант от произвольного числа c на величину . В самом деле, Разность оказалась положительной (при ), поэтому сумма больше суммы . Свойство 8. Среднее арифметическое, вычисленное по данным всех элементов совокупности, равно взвешенному среднему для так называемых частичных средних, т. е. средних, найденных для отдельных частей совокупности, причем частота для каждого частичного среднего равна количеству элементов в соответствующей части совокупности. Пусть совокупность состоит из таких элементов: x1, x2, ..., xk, y1, y2, ..., yl, z1, z2, ..., zm, причем k + l +m = n. Поскольку частичные средние соответственно равны то общее среднее равно Например, это свойство дает возможность упростить вычисление среднего арифметического результатов тестирования учащихся классов одной параллели нескольких школ. Для этого достаточно вычислить среднее арифметическое для каждого класса, а затем вычислить среднее этих частичных средних, приняв в качестве их частот количество учащихся в соответствующих классах. Среднее арифметическое позволяет решать задачи, связанные с проверкой гипотез.