- •Дать определение области, предела и непрерывности функции двух переменных. Примеры.
- •Дать определение дифференцируемости и полного дифференциала функции двух переменных. Примеры.
- •Рассказать об инвариантности формы 1-го дифференциала функции двух переменных. Высшие производные и дифференциалы. Примеры. Инвариантность 1-ой формы дифференциала.
- •Высшие производные и дифференциалы.
- •Дать определение скалярного поля, поверхностей уровня и производной по направлению. Примеры.
- •Доказать теорему о вычислении производной по направлению.
- •Дать определение градиента скалярного поля и доказать теорему о связи производной по направлению и градиента. Дать инвариантное определение градиента. Примеры.
- •Дать определение касательной плоскости и вывести уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Примеры.
- •Дать определение локального экстремума функции двух переменных. Доказать теорему о необходимом условии экстремума.
- •Доказать теорему о достаточном условии экстремума функции двух переменных. Примеры.
- •Дать определение условного экстремума и рассказать о методе множителей Лагранжа. Рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в области. Примеры.
- •Дать определение первообразной и неопределенного интеграла. Доказать лемму о первообразных. Примеры.
- •Доказать основные свойства неопределенного интеграла и вывести правила интегрирования. Примеры.
- •Инвариантность формул интегрирования. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Примеры.
- •Интегрирование и сопутствующих интегралов.
- •Вывести формулу разложения многочлена на множители, используя основную теорему Безу. Интегрирование простейших рациональных дробей 4-х типов. Примеры.
- •Сформулировать теорему о разложении правильной рациональной дроби на простейшие. Рассказать о методах удобных значений и неопределенных коэффициентов. Примеры.
- •Рассказать об интегрировании выражений, содержащих тригонометрические функции. Примеры.
- •Рассказать об интегрировании дробно-линейных и квадратичных иррациональностей. Примеры.
- •Дать определение фигуры, ее диаметра, плотности и сформулировать задачу о массе фигуры. Примеры.
- •Дать определения интегральной суммы интеграла по фигуре для 5 типов фигур.
- •Сформулировать условие существования интеграла по фигуре. Рассказать о механической интерпретации интеграла по фигуре и геометрической интерпретации опред. Двой. Кривол.
- •1) Определенный интеграл.
- •Сформулировать и доказать основные свойства интеграла по фигуре (о немой переменной, линейность, аддитивность, значение интеграла при ).
- •Сформулировать и доказать основные свойства интеграла по фигуре (интегрирование неравенств, теорема о среднем, теорема об оценке интеграла).
- •Доказать теорему о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом и вывести формулу Ньютона-Лейбница.
- •28. Вывести формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. Примеры.
- •29.Вывести формулы приближенного вычисления определенных интегралов (формулы прямоугольников, трапеция, Симпсона).
- •Формула прямоугольников.
- •30. Дать определения и привести основные свойства несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования. Примеры.
- •31. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования от неотрицательных функций. Доказать признаки сравнения. Эталонные функции. Примеры.
- •32.Дать определения абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов. Доказать теорему о связи сходимости к абсолютной сходимости. Примеры.
- •33.Дать определение несобственных интегралов от неограниченных функций. Сформулировать их свойства, теоремы сравнения для них. Привести эталонные функции. Примеры.
- •35.Рассказать о вычислении двойного интеграла в декартовых, полярных координатах и о перемене порядка интегрирования. Примеры.
31. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования от неотрицательных функций. Доказать признаки сравнения. Эталонные функции. Примеры.
Пусть подынтегральная функция тогда является возрастающей функцией.
Таким образом у функции имеется две возможности:
1) т.е. возрастает неограниченно;
2) т.е. ограничена сверху.
В этом случае по теореме о пределе монотонной переменной мы имеем, что существует предел и он не превосходит M, т.е.
Т.е. в этом случае несобственный интеграл сходится.
Таким образом для неотрицательных функций исключается возможность отсутствия пределов у . Это позволяет построить хорошую теорию исследования этих интегралов. Основной способ исследования на сходимость несобственных интегралов заключается в сравнении их с уже известными интегралами, иначе говоря с интегралами от так называемых эталонных функций.
Теорема 1. (признак сравнения в обычной форме).
Пусть функции и не отрицательны интегрируемые и справедливо соотношение
для
Тогда если сходится, то сходится . Если расходится, то тоже расходится.
Доказательство.
Проинтегрируем исходное неравенство в пределах от a до N, получим
Если то JN ограничена сверху, а значит по теореме о пределе монотонной переменной т.е. интеграл сходится.
Обратное утверждение доказывается совершенно аналогично.
Гораздо чаще, чем теорема 1, на практике применяется теорема 2 (признак сравнения в предельной форме)
Пусть функции и неотрицательны и интегрируемые и пусть
при этом
Тогда и сходятся и расходятся одновременно.
Доказательство.
По теореме о связи последовательности, имеющей предел с бесконечно малой, мы имеем где БМ. Иначе говоря, для достаточно больших N справедливо соотношение
А теперь воспользуемся теоремой 1.
Для определения теорем сравнения нужно иметь набор эталонных функций, т.е. функции, о которых заранее известно сходятся или расходятся интегралы от них. В качестве таких функций чаще всего выбираются такие степенные функции
32.Дать определения абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов. Доказать теорему о связи сходимости к абсолютной сходимости. Примеры.
Если подынтегральная функция имеет произвольный знак, то - немонотонная функция и поэтому вся предыдущая теория не годится. Однако, имеется один частный, но важный случай, когда можно сказать что-то определенное и об этих интегралах. Это случай абсолютной сходимости.
Говорят, что сходится абсолютно, если сходится
Теорема 3. Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.
Однако, возможна ситуация, когда интеграл от модуля расходится, а исходный интеграл сходится. В этом случае
- расходится; - сходится условно.
33.Дать определение несобственных интегралов от неограниченных функций. Сформулировать их свойства, теоремы сравнения для них. Привести эталонные функции. Примеры.
Пусть функция f(x) определена на [a;b) и
В этом случае опять нельзя определить интеграл обычным образом с помощью интегральных сумм, т.к. в последнем слагаемом поэтому опять обрезают хвост и определяем несобственный интеграл от неограниченной функции, как предел собственных интегралов при , т.е.
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл сходится. Если же он не существует или равен , то несобственный интеграл расходится.
Все свойства несобственных интегралов 1-ого рода сохраняются и для несобственных интегралов 2-ого рода. Более того, если существует то сохраняется и формула Ньютона-Лейбница
Замечание. Если точка разрыва 2-ого рода подынтегральной функции находится внутри области интегрирования, то мы вырезаем ее окрестность и получаем 2 несобственных интеграла 2-ого рода, при этом окрестности вырезаются вообще говоря не симметрично.
Для несобственных интегралов 2-ого рода от положительных функций также справедливы теоремы сравнения. Однако, в качестве эталонных функций выбираются функции