1. Дать определение области, предела и непрерывности функции двух переменных. Примеры.

Опр. Областью мы будем называть открытое связное множество.

Открытость означает, что вместе с каждой своей точкой в области содержится и его малая окружность.

Связность означает, что любые 2 точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей внутри области.

Области бывают двумерные, трехмерные и т.д., т.е. на плоскости, в пространстве.

Функцией 2-х переменных называется правило, которое каждой точке (x,y) из области D ставит в соответствие единственную точку z=f(x,y)

Графиком функции 2-х переменных является поверхность пространства.

Можно рассматривать 3-х и более переменных, однако здесь ничего нового почти не возникает, но теряется наглядность, поэтому в основном мы будем рассматривать функции 2-х переменных.

окрестностью точки мы будем называть круг радиуса с центром в точке , т.е.

Число A называется , если 1) f(x,y) определена в окрестности ;

2)

Замечание. Здесь имеется существенная разница с функцией одной переменной. Для функции одной переменной к точке M₀ стремится или слева, или справа, и мы требовали их равенства. Для функции 2-х переменных таких направлений бесконечно много и для существования предела требуется, чтобы пределы по всем направлениям совпадали.

Пример. Рассмотрим . И докажем, что у нее нет предела в точке M₀(0,0).

Будем стремиться к этой точке по прямым y=kx, тогда

При различных k предел будет различным, а это означает, что предела в точке M₀ нет.

Опр. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке M₀, если 1) f(x,y) определена в окрестности ; 2)

2. Дать определение дифференцируемости и полного дифференциала функции двух переменных. Примеры.

Полным приращением функции 2-х переменных называется величина

Частным приращением по x называется величина:

Частным приращением по y называется величина:

Опр. Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в некоторой точке M(x,y), если ее полное приращение в окрестности этой точки предстоит в виде

,

где

Справедлива теорема: Если функция дифференцируема, то она непрерывна.

Доказательство:

Опр. Полным приращением функции 2-х переменных называется главная линейная часть приращения.

Частные производные.

Положим формуле (1) , получим

Если то он называется частной производной от z по x

Аналогично, положим в (1) тогда

формула (2)примет вид: .

Теорема 2. Если функция дифференцируема, то у нее есть частные производные; обратное вообще говоря не верно.

Для того, чтобы найти частную производную по переменной x, нужно переменную y считать постоянной.

Пример.

3. Дать определение частных производных функции двух переменных. Примеры.

4. Вывести формулы дифференцирования сложной функции двух переменных и формулу полной производной. Примеры.

Дифференцирование сложной функции.

Пусть функция имеет вид

и пусть все 3 функции z, x и y дифференцируемы.

Т.к. функция z дифференцируема, то справедлива формула (1). Разделим ее почленно на , получим:

Положим , тогда получим

Устремим , тогда получим

Пример.

Полная производная.

Рассмотрим функцию 3-х переменных z=f(t,x,y), при этом т.е. z=f(t,x(t),y(t))=F(t).

Тогда

d означает производную функции одной переменной или полную производную.

означает частную производную, т.е. производную по одной из переменных.

Пример.

5. Дать определение неявной функции, сформулировать теорему ее существования и вывести формулы ее дифференцирования. Примеры.

Дифференцирование неявной функции.

Опр. Говорят, что соотношение F(x,y,z)=0 определяет неявную функцию 2-х переменных z=z(x,y), если при ее подстановке это соотношение обращается в тождество:

F(x,y,z(x,y))=0 (6)

Продифференцируем тождество 6 по переменной x, используя формулу полной производной, получим: где x и y независимые переменные, т.е. y не зависит от x, поэтому

Аналогично,

Если функция f(x,y,z) имеет 3 частные производные и в некоторой области, то частные производные неявной функции z находятся по формулам (7).

Пример. Найти частные производные неявной функции: