2. Короткі теоретичні відомості

   1. Ряд Фур`є

Кожна періодична функція може бути подана за допомогою ряду з тригонометричними функціями, тобто

де - періодична функція, що визначена на відрізку ;

- чисельні коефіцієнти, - початкові фази,

- інтервал визначення періодичної функції , частота і початкова фаза .

Гармонічних коливання, що входять до складу періодичної функції , створюють гармонічну послідовність, коли частоти усіх складових кратні частоті . Ці окремі складові називаються гармоніками, а коливання з частотою - першою (основною) гармонікою ( ), а з частотою - другою гармонікою ( ) і т.д.

Коефіцієнти визначаються з наступних формул

і звуться коефіцієнтами Фур’є функції .

Коефіцієнт зветься постійною складовою і є подвійним середнім значенням функції на заданому інтервалі, обчислюючись по формулі

Таким чином, ряд Фур’є розкладає періодичну неперервну функцію за тригонометричними функціями , які створюють систему ортогональних та нормованих функцій. Це розкладання можна узагальнити і на випадок неперіодичної функції.

2. Спектральний аналіз

Спектральний аналіз – це знаходження усіх гармонійних складових з відповідними частотами, які входять до складу даного сигналу і в підсумку відтворюють його.

Дискретне перетворення Фур’є (ДПФ) дозволяє визначити спектр дискретизованого, обмеженого по тривалості сигналу, який зафіксований своїми вибірковими (дискретними) значеннями.

Спектр, який є дискретним(поданий у певних частотах у вигляді решітчастої функції, коли на відповідних частотах подаються лінії відповідних амплітуд – лінії спектру). Будуючи комплексні величини ( маючи Re і Im) спектр може бути поданий у експоненціальній формі коли амплітуда експоненти зветься амплітудно-частотною характеристикою(або амплітудним спектром), а фаза експоненти(комплексний спектр) – фазово-частотною характеристикою(або фазовим спектром).

Спектр, для обмеження по тривалості функції задається на інтервалі частот, який дорівнює частоті дискретизації часового сигналу.

Поданий на інтервалі, що дорівнює частоті дискретизації числом своїх дискрет(ліній спектру), яке рівне N. N – число точок дискретизації.

Крок подачі ліній спектру визначається, як різниця між двома сусідніми частинами ліній спектру.

Амплітуда часового сигналу на 0-ій частоті:

Амплітуда ліній спектру на інших частотах:

3. Розрахунки

   1. Розкладання заданого сигналу в ряд Фур`є та визначення всіх ненульових гармонік

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0	0,2	0.4	0.6	0.8	1	1.2	1.4	1.6	1.8
	-0.6	-2.6	-4.43	-0.37	-2.2	-4.2	-1.49	-1.51	-3.29	-3.31

Застосуємо формули знаходження коефіцієнтів ряду Фур`є для дискретизованого сигналу:

Крок ∆t_n = 0.2

Кількість дискрет N = 10

Коефіцієнти ряду Фур`є при косинусах:

A0 = 0.1*(-0.6 -2.6 -4.43 -0.37 -2.2 -4.2 -1.49 -1.51 -3.29 -3.31)*cos(0) = -2.4

A1 = 0.1*(-0.6*cos(0) -2.6*cos(0.2π*1) -4.43*cos(0.2π*2) -0.37*cos(0.2π*3)- 2.2*cos(0.2π*4) -4.2*cos(0.2π*5) -1.49*cos(0.2π*6) -1.51*cos(0.2π*7) -3.29*cos(0.2π*8) -3.31*cos(0.2π*9)) = 0

A2 = 0.1*(-0.6*cos(0) -2.6*cos(0.2π*2) -4.43*cos(0.2π*4) -0.37*cos(0.2π*6)- 2.2*cos(0.2π*8) -4.2*cos(0.2π*10) -1.49*cos(0.2π*12) -1.51*cos(0.2π*14) -3.29*cos(0.2π*16) -3.31*cos(0.2π*18)) = 0

A3 = 0.1*(-0.6*cos(0) -2.6*cos(0.2π*3) -4.43*cos(0.2π*6) -0.37*cos(0.2π*9)- 2.2*cos(0.2π*12) -4.2*cos(0.2π*15) -1.49*cos(0.2π*18) -1.51*cos(0.2π*21) -3.29*cos(0.2π*24) -3.31*cos(0.2π*27)) = 0.9

A4 = 0.1*(-0.6*cos(0) -2.6*cos(0.2π*4) -4.43*cos(0.2π*8) -0.37*cos(0.2π*12)- 2.2*cos(0.2π*16) -4.2*cos(0.2π*20) -1.49*cos(0.2π*24) -1.51*cos(0.2π*28) -3.29*cos(0.2π*32) -3.31*cos(0.2π*36)) = 0

A5 = 0.1*(-0.6*cos(0) -2.6*cos(0.2π*5) -4.43*cos(0.2π*10) -0.37*cos(0.2π*15)- 2.2*cos(0.2π*20) -4.2*cos(0.2π*25) -1.49*cos(0.2π*30) -1.51*cos(0.2π*35) -3.29*cos(0.2π*40) -3.31*cos(0.2π*45)) = 0

A6 = 0.1*(-0.6*cos(0) -2.6*cos(0.2π*6) -4.43*cos(0.2π*12) -0.37*cos(0.2π*18)- 2.2*cos(0.2π*24) -4.2*cos(0.2π*30) -1.49*cos(0.2π*36) -1.51*cos(0.2π*42) -3.29*cos(0.2π*48) -3.31*cos(0.2π*56)) = 0

A7 = 0.1*(-0.6*cos(0) -2.6*cos(0.2π*7) -4.43*cos(0.2π*14) -0.37*cos(0.2π*21)- 2.2*cos(0.2π*28) -4.2*cos(0.2π*35) -1.49*cos(0.2π*42) -1.51*cos(0.2π*49) -3.29*cos(0.2π*56) -3.31*cos(0.2π*63)) = 0.9

A8 = 0.1*(-0.6*cos(0) -2.6*cos(0.2π*8) -4.43*cos(0.2π*16) -0.37*cos(0.2π*24)- 2.2*cos(0.2π*32) -4.2*cos(0.2π*40) -1.49*cos(0.2π*48) -1.51*cos(0.2π*56) -3.29*cos(0.2π*64) -3.31*cos(0.2π*72)) = 0

A9 = 0.1*(-0.6*cos(0) -2.6*cos(0.2π*9) -4.43*cos(0.2π*18) -0.37*cos(0.2π*27)- 2.2*cos(0.2π*36) -4.2*cos(0.2π*45) -1.49*cos(0.2π*54) -1.51*cos(0.2π*63) -3.29*cos(0.2π*72) -3.31*cos(0.2π*81)) = 0

Коефіцієнти ряду Фур`є при синусах:

B0 = 0.1*(-0.6 -2.6 -4.43 -0.37 -2.2 -4.2 -1.49 -1.51 -3.29 -3.31)*sin(0) = 0

B1 = 0.1*(-0.6*sin(0) -2.6* sin(0.2π*1) -4.43* sin(0.2π*2) -0.37* sin(0.2π*3)- 2.2* sin(0.2π*4) -4.2* sin(0.2π*5) -1.49* sin(0.2π*6) -1.51* sin(0.2π*7) -3.29* sin(0.2π*8) -3.31* sin(0.2π*9)) = 0

B2 = 0.1*(-0.6*sin(0) -2.6* sin(0.2π*2) -4.43* sin(0.2π*4) -0.37* sin(0.2π*6)- 2.2* sin(0.2π*8) -4.2* sin(0.2π*10) -1.49* sin(0.2π*12) -1.51* sin(0.2π*14) -3.29* sin(0.2π*16) -3.31* sin(0.2π*18)) = 0

B3 = 0.1*(-0.6*sin(0) -2.6* sin(0.2π*3) -4.43* sin(0.2π*6) -0.37* sin(0.2π*9)- 2.2* sin(0.2π*12) -4.2* sin(0.2π*15) -1.49* sin(0.2π*18) -1.51* sin(0.2π*21) -3.29* sin(0.2π*24) -3.31* sin(0.2π*27)) = 0

B4 = 0.1*(-0.6*sin(0) -2.6* sin(0.2π*4) -4.43* sin(0.2π*8) -0.37* sin(0.2π*12)- 2.2* sin(0.2π*16) -4.2* sin(0.2π*20) -1.49* sin(0.2π*24) -1.51* sin(0.2π*28) -3.29* sin(0.2π*32) -3.31* sin(0.2π*36)) = 0.3

B5 = 0.1*(-0.6*sin(0) -2.6* sin(0.2π*5) -4.43* sin(0.2π*10) -0.37* sin(0.2π*15)- 2.2* sin(0.2π*20) -4.2* sin(0.2π*25) -1.49* sin(0.2π*30) -1.51* sin(0.2π*35) -3.29* sin(0.2π*40) -3.31* sin(0.2π*45)) = 0

B6 = 0.1*(-0.6*sin(0) -2.6* sin(0.2π*6) -4.43* sin(0.2π*12) -0.37* sin(0.2π*18)- 2.2* sin(0.2π*24) -4.2* sin(0.2π*30) -1.49* sin(0.2π*36) -1.51* sin(0.2π*42) -3.29* sin(0.2π*48) -3.31* sin(0.2π*54)) = -0.3

B7 = 0.1*(-0.6*sin(0) -2.6* sin(0.2π*7) -4.43* sin(0.2π*14) -0.37* sin(0.2π*21)- 2.2* sin(0.2π*28) -4.2* sin(0.2π*35) -1.49* sin(0.2π*42) -1.51* sin(0.2π*49) -3.29* sin(0.2π*56) -3.31* sin(0.2π*63)) = 0

B8 = 0.1*(-0.6*sin(0) -2.6* sin(0.2π*8) -4.43* sin(0.2π*16) -0.37* sin(0.2π*24)- 2.2* sin(0.2π*32) -4.2* sin(0.2π*40) -1.49* sin(0.2π*48) -1.51* sin(0.2π*56) -3.29* sin(0.2π*64) -3.31* sin(0.2π*72)) = 0

B9 = 0.1*(-0.6*sin(0) -2.6* sin(0.2π*9) -4.43* sin(0.2π*18) -0.37* sin(0.2π*27)- 2.2* sin(0.2π*36) -4.2* sin(0.2π*45) -1.49* sin(0.2π*54) -1.51* sin(0.2π*63) -3.29* sin(0.2π*72) -3.31* sin(0.2π*81)) = 0

В результаті проведених розрахунків отримуємо такі коефіцієнти:

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
tn	0	0,2	0.4	0.6	0.8	1	1.2	1.4	1.6	1.8
	-2.4	0	0	0.9	0	0	0	0.9	0	0
	0	0	0	0	0.3	0	-0.3	0	0	0

Отримуємо формулу:

F(t) = -2.4 + 0.9*cos(0.6π*t) + 0.3*sin(0.8π*t) – 0.3*sin(1.2π*t) + 0.9*cos(1.4π*t)