- •10 Инт. Вида ,
- •11 Инт. Вида
- •1 Кч в алгебраической форме
- •2 Тригонометрическая форма кч
- •3 Извлечение корня из кч
- •4 Основная теорема алгебры и ее следствия
- •2 Свойства инт.
- •6 Инт. По частям
- •7 Инт. Рациональных функций.
- •8 Инт. Иррациональных функций
- •8.2 Инт. Биномиальных дифференциалов
- •9 Инт. Тригон. Выражений
- •2. Dу1, решения которых сводится к интегралам
- •3. Сущ. И ед. Решения dу1.
- •2 Сущ. И ед. Решения.
- •2 Сущ. И ед. Решения нсdу
- •3 Метод исключения
2. Dу1, решения которых сводится к интегралам
1) DУ с разделяющими переменными (РП), это уравн. вида , пр. .
2) ОDУ1, .
3) Уравн., приводимые к однородным .
Рассмотрим уравнение ; перейдем к новым переменным , , ,
,
пусть определитель,
если , то существуют и уравн. сводится к однородному , находим его ОР и ОР исходного ,
если , то т.е. , и уравн. можно свести к уравн. с РП.
4) ЛDУ1 , метод Бернулли, пр. .
5) DУ Бернулли: , , метод Бернулли.
6) Уравн. в полных дифф.
Пусть , уравн. наз. в ПD в если левая часть является полным дифференциалом некоторой фун. двух переменных, т.е. , тогда ОР имеет вид .
Пусть односвязная область в R2 , а непр. дифф. в , тогда
будет полным дифференциалом т. и т.т. когда выполнено условие Эйлера: в .
В частности, если прямоугольник с центром в т. , то фун. можно найти по любой из формул или .
7) Уравн. с инт. множителем зависящим от x или от y.
Рассмотрим уравн. , которое не является в ПД, фун.
наз. интегрирующим множителем для такого уравнения, если будет в ПД. Найдем условия когда существует множитель зависящий от x или от y.
: если дробь справа зависит от x, то такой множитель существует;
: если дробь справа зависит от y , то можно найти;
3. Сущ. И ед. Решения dу1.
Рассмотрим (без док) 2 теоремы сущ. и ед. реш. ЗК для DУ в .
Т1. Пусть
1) непр. в и
2) ограничена в ,
сущ. ед. реш. ЗК с началом в любой точке .
Пример: ЛDУ1 , p и q непр. на .
Т2. Пусть
1) −прямоугольник : ,
2) f непр. в и значит ограничена: ,
сущ. ИК , проходящая через и опред. в промежутке ,
, если кроме того
3) ограничена в , то
ИК ед. Пр. 1) ; 2)
DУ2
1. Определения. DУ2, разрешенное относительно , имеет вид , где f непр. в обл. .
Реш. уравн. наз. фун. : , разумеется .
ЗК заключается в отыскании решения , где , при этом должно быть опред. в некоторой окрест. т. x0 . ЗК записывают в виде . Два последних равенства наз. условиями Коши, т. наз. начальной.
Пусть через проходит ровно одна ИК . ОР наз. семейство решений , зависящее от двух параметров , для которого система разрешима относ. . Т.о. за счет выбора решается ЗК с началом в любой точке Ω
2 Сущ. И ед. Решения.
Т. Пусть 1) f непр. в ,
2) огранич. в
ЗК имеет ед. реш. в .
Пр.1) , 2) , p, q непр. на .
3 Понижение порядка. Имеются частные случаи DУ2, когда оно сводится к DУ1, такая процедура наз. понижением порядка.
1) , имеем , , все!
2) , пусть , тогда , это DУ1, решим его
, теперь , , все! Пр.
3) , пусть , тогда ,это DУ1, решим его , теперь , это DУ1 с РП, его решение:
плюс , где , все!
Пр. 1. ; 2. ; 3. .
ЗК: 4189 ;
4190 ;
4196 ;
ЛDУ
Основные понятия и определения. Пусть , ЛDУ n−го порядка наз. уравнение вида , где функции непр. на . Уравнение опред. в полосе, которая занимает вдоль x , а могут принимать любые значения.
Левую часть обозначим через , так что ЛDУ удобно записывать в виде . Уравн. наз. однородным если и неоднородным если .
Пр. 1) −ЛНDУ1, можно решить по формуле ОР,
2) −ЛОDУ2, можно понизить порядок,
3) −это знаменитое уравнение Эри, решение которого можно представить с помощью степенного ряда.
Вид ЛDУ обеспечивает однозначную разрешимость ЗК всюду в полосе. Для ЛDУ2 это означает, что для любого набора
сущ. ед. решение .
Более того, для ЛDУ теорема сущ. утверждает, что решение ЗК опред.
во всем интервале .
Введем понятие лин. завис. и незав. фун. Конечный набор функций наз. лин. завис., если сущ. числа , не все =0, такие, что , если сумма =0 лишь когда все , то набор наз. лин. незав.
Теорема 1. Набор функций лин. зависим одна из функций равна лин. комбинация других: , при некотором j.
Пр. 1) − лин. незав.
2) − лин. завис.
3) − лин. незав.
− определитель Вронского набора функций.
Теорема 2. Набор лин. зависим
один из столбцов W = лин. комбинации других,
Структура общего решения ЛОDУ , .
1. Определение. ФСР ЛОDУ n−го порядка наз. лин. незав. набор из n его решений. Пример − ФСР уравнения .
2. Для каждого ЛОDУ n−го порядка ФСР существует
Зам. Пусть решения уравнения ,
набор лин. независимый и значит образует ФСР .
3. ОР ЛОДУ n−го порядка имеет вид , где −ФСР.
Пример − ОР уравнения .
ЛОDУ2 с постоянными коэфф. Рассмотрим уравн. , где p, q − действ. числа. Будем искать решение в виде , подстановка дает кв. уравн. , оно наз. характеристическим. Пусть дискриминант ,
1) −два действительных различных корня, образуют ФСР (показать что )
ОР ;
2) −действ. корень крат. 2 , , покажем, что тоже решение:
при , образуют ФСР (доказать)
ОР ;
3) −пара сопряженных корней, составляем комплексные решения ;
действ. решения получаются отделением действительной и мнимой частей , , образуют ФСР (доказать)
ОР .
Структура ОР ЛНDУ .
Теорема. ОР ЛНDУ имеет вид , где z –частное решение ЛНDУ, а − ОР ЛОDУ .
Отыскание частного решения ЛНDУ2 с пост. коэфф. и с прав. частью спец. вида (метод подбора) , ;
1) , где r крат. как корня характ. уравн.,
пр. .
2) , где r крат. как корня характ. уравн. пр. .
3) ,
полиномы степени .
4) Суперпозиция решений.
, частные решения , ~
Метод Лагранжа (метод вариации)
Рассмотрим ЛНDУ2 .
ОР ЛОDУ2 , где − ФСР.
Ищем решение НУ в виде ,
где подлежат определению,
дифференцируем ,
полагаем , тогда ,
дифференцируем еще раз ,
потребуем чтобы :
получили лин. систему
ее опред. W≠0, находим производные ,
и после интегрирования, функции , а значит и z, все!
пр. .
СDУ
1. Основные понятия и опред. Нормальной СDУ наз. набор уравн. вида
...
где непр. в области .
Каждое уравнение НС 1−го порядка, разрешенное относ. производной. На самом деле каждое уравнение вида можно переделать в НСDУ. Пр. : .
Решением СDУ наз. набор фун. , опред. на интервале
:
Удобно записывать НСDУ в векторной форме: , где
, , , решение СDУ будет векторная функция
ЗК для СDУ записывается в виде , , т. наз. начальной. ОР наз. семейство решений , зависящее от n констант, за счет выбора которых можно решить ЗК с началом в любой т. из .