76. Рандомизированные решения.

Ранд-ым решением µ ЛПР наз. распред-ие вер-стей на мн-ве его обычных неранд-ых решений.

s¹₁ s¹₂ s¹_m , ∑^m_i=1 p_1i = 1

µ = p₁₁ p₁₂ p_1m, p_1i≥0, i=1,¯m

Критериями оптим-сти ранд-ых решений служат те же, что и в критериях оптим-сти решений в игре против природы, но с той лишь разницей, что при этом м/у собой сравниваются сред. значения выигрышей ЛПР, определяемые по ф-ле:

K₁ (µ) = ∑^m_i=1 ∑ⁿ_j=1 α_ij p_1j p_2j, (1)

где p_2j – вер-сть свершения состояния s²_j природы.

77. Геометрическая интерпретация игры против природы. Платежное мн-во.

Кажд. реш. s¹_i ЛПР опр-ет вектор выигрышей (потерь) s_i^→ = (α_i1, α_i2,…, α_in),(1), эл-ты кот. явл. эл-тами i-той строки платеж. матрицы. α_ij выр-ет собой выигрыш (проигрыш) ЛПР в системе s^→ = (s¹_i, s²_j).

Рассм. произведение ранд-ого решения µ. Тогда вектор сред. выигрышей/потерь ЛПР k^→ (µ) опр-ся как: k^→ (µ) = ∑^m_i=1 α_i^→ p₁,(2)

Это соотнош. явл. выпуклой линейной комбинацией векторов α_i, i=1,¯m.

Платеж. мн-вом игры против природы наз. геом. место точек, определяемое этим соотнош. Это мн-во явл. выпуклым многогранником, кажд. вершина кот. соотв-ет к.-л. неранд-му решению. Внутр. точки платеж. мн-ва соотв-ют ранд-ым решениям.

78.Доминир-ть реш-й в играх против природы. Мн-во допустимых реш-й.

Говорят, что ранд. реш. µ′ доминирует реш. µ′′ (пишут µ′ > µ′′), если при любом состоянии природы s²_j сред. выигрыш/проигрыш ЛПР при µ′ больше, чем при µ′′, т.е. K₁ (µ′ \ s²_j) > K₁ (µ′′ \ s²_j), j=1,¯n. Отсюда следует, что все внутр. точки платеж. мн-ва соотв-ют доминируемым решениям.

Допустимым решением наз. ¥ недоминируемое реш. Этим решениям соотв-ют граничные точки платеж. мн-ва.

79. Поиск оптим рандомизир-х решений в игре п/в природы

При поиске оптим. ран. решений применяются те же критерии оптимизации, что и для обычных решений. С тем отличием, что м/ у собой сравниваются сред.значения выигрышей (потерь) ЛПР.

Поиск оптимальный ран.решений по критерию Лапласа.

Прим-ся в усл.отсутствия информации о вероятностях свершения состояний природы. Оптим.ранд.решения находятся из условия: К₁(µ¯)=1/m∑^m_i=1∑ⁿ_j=1 (1/n)α_ijp_1i→max (min),(1).

∑^m_i=1p_1i=1,p_1i≥0,i=1,m¯, (2).

ЗЛП (1)-(2) предполагает поиск вероятностей р^*_1i , i=1,n¯, определяющих оптим.ранд.решение, при этом max в (1) преследуется когда платёжная мат-ца (α_ij) _mxn явл-ся мат-цей полезности. В том случае, когда она явл-ся мат-цей потерь задача (1)-(2) предполагает поиск, преследование min в (1).

80.Поиск оптим ранд.Решений по критерию ожидаемого значения (Байеса).

Прим-ся, когда известны вероятности р_2j реализации состояний природы s²_j , j=1,n¯; при этом схема поиска оптим.вероятностей р*_1i, i=1,m¯ совершенно аналогично процедуре критерия Лапласа с тем отличием, что теперь в формуле К₁(µ¯)=1/m∑^m_i=1∑ⁿ_j=1 (1/n)α_ijp_1i→max (min) для вычислений сред.значенмий выигрыша ЛПР исп-ся заданные величины р_2j в результате задача поиска оптим.ранд.решений сводится к решению следующей ЗЛП:

К₁(µ¯)=1/m∑^m_i=1∑ⁿ_j=1 (1/n)α_ij р_2jp_1i→max (min),

∑^m_i=1p_1i=1,p_1i≥0,i=1,m¯.