2. ?

3. Методы научного познания в обучении математике. Математические методы познания.

Наблюдение, эксперимент (опыт, измерение), описание называются эмпирическими методами исследования. Они широко используются в естественных науках (химии, биологии, астрономии, физике, географии и т. д.).

Математика не является экспериментальной наукой, и, следовательно, опытное подтверждение не может служить достаточным основанием истинности ее предложений. Чаще всего результаты наблюдения, опыта и измерений служат посылками индуктивных выводов, с помощью которых осуществляются открытия новых истин. Поэтому наблюдение, опыт и измерения относят и к эвристическим методам обучения, т. е. к методам, способствующим открытиям.

Пример:

2. Осевая симметрия. Учащимся показывает различные фигуры, окружающие нас. То это наблюдение позволяет заключить:

Некоторые фигуры делятся прямой на две части так, что если согнуть эти фигуры по прямой, то одна их часть полностью наложится на другую. А другие нет.

После такого наблюдения можно перейти к дальнейшему изучению симметрии с помощью эксперимента (лист бумаги согнуть, затем на одной половине ставим точку и сгибаем).

Сравнение – мысленное установление сходства или различия объектов изучения.

Пример:

1. Сравнение параллелограмма и трапеции позволяет выявить

- общие свойства: 4-х угольники , параллельные стороны

- различные: две пары параллельных сторон, а в трапеции одна

Сравнение подготавливает почву для применения аналогии. С помощью аналогии знания полученные из рассмотрения некоторого объекта переносятся на другой менее изученный, менее наглядный и т.д. По отношению к некоторым объектам получаемое заключение носит вероятный характер, которые могут быть затем опровергнуты или подтверждены, более строгими подтверждениями.

Анализ – это метод, состоящий в том, что изучаемый объект, мысленно или практически расчленяется на элементы, каждый из которых исследуется, изучается как отдельная часть (от следствия к причине или от неизвестного к известному) – аналитический метод.

Синтез – отдельные элементы соединяются в целое (от причины к следствию или от известного к неизвестному) – синтетический метод.

В реальном мыслительном процессе или в процессе обучения, анализ и синтез практически всегда выполняются совместно (возможно с преобладанием одного из них).

Пример: Ребенок, разбирающий игрушку – анализ, а собирающий – синтез.

Задача: У Маши и Тани 12 яблок вместе. У Тани 5 яблок. Сколько яблок у маши?

1. Синтетический:

Пусть х – число яблок у Маши, тогда по условию х+5=12, х=7яблок

2. Аналитический:

Чтобы узнать, сколько яблок у Маши нужно: 12-5=7яблок

Обобщение – это мысленное выделение, фиксирование каких-нибудь общих существенных свойств, принадлежащих данному классу объектов или отношений.

Абстрагирование - это мысленное отвлечение от некоторых несущественных свойств изучаемого объекта и выявление существенных для данного исследования свойств. Обобщение и абстрагирование применяются почти всегда совместно.

Так в примере2 обобщив мы одновременно совершили абстрагирование, отвлеклись от несущественного признака этих равенств – наличие конкретных индексов и коэффициентов.

Под конкретизацией понимают обратный переход - от более общего к менее общему, от общего к единичному, от абстрактного к конкретному.