Матричные игры

1.Определение матричной игры

Описание игры включает перечень участников конфликта, задание множеств возможных действий и оценок эффективности этих действий для каждого из них. Участников конфликта принято называть игроками. Обозначим множество всех игроков через N. Далее будем считать множество N конечным. Игроков принято различать по их номерам, т. е. считать N = {1, 2, …, n}. Множество возможных действий i-го игрока обозначим через S_{i .} Элементы этого множества принято называть стратегиями. Каждый игрок имеет не менее двух различных стратегий, в противном случае его действия заранее определены и фактически он не участвует в игре. В результате выбора i-м игрока стратегии

s_i S_i складывается система стратегий (s_1, s_2, …,s_n) = s, которая называется ситуацией. Эффективность возможных действий игроков мы будем оценивать теми выигрышами, которые игроки получают в каждой ситуации s. Выигрыш игрока i в ситуации s обычно обозначается через H_i(s). Функция H_i(s), определенная на множество всех ситуаций, называется функцией выигрыша игрока i. Цель i-го игрока − максимизация своей функции выигрыша.

Данный способ описания игры заключается в том, что рассматриваются все возможные стратегии каждого игрока и определяются выигрыши, соответствующие любой возможной ситуации. Описанная таким образом игра называется бескоалиционной n лиц в нормальной форме

Г = < N, {S_i}_{i N}‚ {H_i}_{i N} > . (1)

О п р е д е л е н и е 1. Игра (1) называется антагонистической, если в ней участвуют два игрока и значения функций выигрыша в каждой ситуации равны по величине и противоположны по знаку.

Следовательно, для задания антагонистической игры достаточно указать функцию выигрыша только одного из игроков

(H_ΙΙ(s) = ­H_Ι(s)). Поэтому под антагонистической игрой понимается совокупность

Г = < А, В, Н >, (2)

где А и В – соответственно множества стратегий игроков Ι и ΙΙ, а Н – функция выигрыша игрока Ι.

О п р е д е л е н и е 2. Конечная антагонистическая игра в нормальной форме называется матричной игрой.

Это название можно объяснить следующей возможностью описания игр такого рода. Поскольку множество возможных каждого из игроков в этом случае конечно, можно положить

А = {1, 2, …, m}, В = {1, 2, …, n}, где m и n – соответственно число стратегий игроков Ι и ΙΙ, а значение функции Н представить в виде следующей матрицы:

Н = .

Здесь h_ij = Н(i, j) – выигрыш игрока Ι в ситуации (i, j), где i – номер строки (стратегия игрока Ι), j – номер столбца (стратегия игрока ΙΙ). Матрица Н называется матрицей игры или матрицей выигрышей.

Матричная игра полностью определяется своей матрицей выигрышей. Поэтому часто вместо выражения «игра с матрицей выигрышей Н» употребляется выражение «игра Н».

Преимущество представления игры в виде матрицы заключается в хорошей наглядности. Матричные игры являются самыми простыми из класса антагонистических игр.