8

Лабораторная работа 7.3 Измерение длины электромагнитной волны методом дифракции Фраунгофера Цель работы:

1. Исследовать явление дифракции электромагнитных волн.

2. С помощью дифракционной решетки проходящего света измерить длины электромагнитных волн видимого диапазона.

Основные теоретические сведения

Дифракцией света называется явление отклонения распространения волн в пространстве от законов геометрической оптики вблизи границ препятствий, размеры которых соизмеримы с длиной световой волны. В частности, дифракция приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени. Явление дифракции заключается в перераспределении светового потока в результате суперпозиции волн, возбуждаемых когерентными источниками, расположенными непрерывно.

Дифракция световых волн, являющихся частным случаем волн электромагнитных, может быть объяснена с помощью принципа Гюйгенса. Согласно этому принципу, каждая точка среды, которой достигла в данный момент времени волна, может рассматриваться как точечный излучатель вторичной сферической волны. Однако принцип Гюйгенса не даёт никаких представлений об интенсивности вторичных волн. Френель дополнил принцип Гюйгенса следующими двумя утверждениями:

• Все вторичные источники когерентны между собой, поэтому в любой точке пространства параметры волны могут быть рассчитаны как результат интерференции всех вторичных волн

• Амплитуда вторичной сферической волны пропорциональна величине элемента волновой поверхности; амплитуда убывает пропорционально расстоянию от источника.

Геометрическая поверхность, отделяющая возмущённую волной среду от невозмущённой, называется волновым фронтом. Геометрическая поверхность, все точки которой в любой момент времени имеют одинаковую фазу колебаний, называется волновой поверхностью. Таким образом, огибающая вторичных сферических волн определяет форму волновой поверхности в следующий момент времени.

Угол, на который отклоняется волна от первоначального направления при дифракции, называется углом дифракции.

Наблюдение дифракции осуществляется обычно по следующей схеме. На пути световой волны, распространяющейся от некоторого источника, помещается непрозрачная преграда, закрывающая часть волновой поверхности световой волны. За преградой располагается экран, на котором возникает дифракционная картина.

Различают два вида дифракции:

1. Если источник света и экран расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку наблюдения на экране, образуют практически параллельные пучки, то говорят о дифракции Фраунгофера или дифракции в параллельных лучах. Практически дифракцию Фраунгофера можно получить, поместив точечный источник света в фокусе собирающей линзы.

2. Если источник света и экран расположены от препятствия недалеко (на расстоянии, соизмеримом с длиной световой волны), то лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку наблюдения на экране, уже не образуют параллельных пучков. В этом случае говорят о дифракции Френеля или дифракции в непараллельных лучах.

В данной лабораторной работе в качестве препятствия при исследовании дифракции Фраунгофера используется дифракционная решетка, которая представляет собой совокупность узких параллельных щелей, расположенных в одной плоскости (рисунок 1). Ширина всех щелей одинакова и равна , а расстояние между щелями равно . Важным параметром дифракционной решетки является её период: сумма ширины одной щели и расстояния между соседними щелями

(1)

Рисунок 1. Период дифракционной решетки.

Дифракционные решетки бывают двух типов:

• Решетки проходящего света, представляющие собой прозрачную пластинку из диэлектрика, на которой с помощью специальной делительной машины нарезают параллельные бороздки. Эти бороздки выполняют роль щелей, прозрачных для света, а промежутки между ними – роль непрозрачных препятствий. Количество таких бороздок может быть от нескольких десятков до нескольких тысяч на 1 мм длины решетки.

• Отражательные решетки представляют собой зеркальную поверхность, на которой аналогично формируются параллельные бороздки, играющие роль щелей. Промежутки между ними являются препятствиями для света.

Дифракционные решётки являются главной частью дифракционных спектрометров – приборов, предназначенных для измерения длин волн электромагнитного излучения, проходящего сквозь них.

Дифракция света на решётках проходящего света и на отражательных решётках происходит по-разному. В данной работе мы будем исследовать дифракцию Фраунгофера на решётке проходящего света.

Найдем аналитическое выражение для вычисления длины волны света с помощью дифракционной решетки. Пусть когерентные волны 1 и 2 падают на решетку нормально к ее поверхности и дифрагируют под углом (рисунок 2).

Рисунок 2. Дифракция света на решётке проходящего света.

При наблюдении в параллельных лучах под углом между лучами, исходящими из соседних щелей возникает одна и та же разность хода

(2)

Пройдя дифракционную решетку, волны интерферируют в плоскости экрана. Если в точке наблюдения наблюдается интерференционный максимум, то разность оптических длин путей 1 и 2 должна быть равна чётному числу полуволн:

(3)

Таким образом, из (2) и (3) получаем условие главных максимумов для дифракционной решётки проходящего света:

m = 0, 1, 2,  (4)

Очевидно, что две любые другие волны, аналогичные волнам 1 и 2 и проходящие на расстоянии друг от друга, дадут вклад в формирование максимума в точке , который называется главным максимумом. Условие в формуле (4) соответствует значению и определяет интерференционное условие для центрального максимума, формируемого недифрагированными волнами, приходящими в центр экрана в одной фазе. При дифракции лучи могут отклоняться от первоначального направления распространения как влево, так и вправо. Отсюда следует, что дифракционный спектр должен быть симметричен относительно центрального максимума. Будем считать углы дифракции для максимумов, расположенных слева от центрального, положительными, а справа - отрицательными. Тогда окончательное выражение для главных максимумов в дифракционном спектре примет вид:

m = 0, 1, 2, 3,  (5)

Главные максимумы различных порядков разделены в дифракционном спектре главными интерференционными минимумами, в которых волны складываются в противофазе и гасят друг друга попарно. Условие главных минимумов для дифракционной решётки проходящего света имеет вид:

(6)

где - ширина щели.

Наряду с главными максимумами и минимумами в дифракционном спектре присутствуют добавочные максимумы и минимумы, возникающие при интерференции дифрагированных волн, проходящих сквозь дифракционную решетку на расстояниях или одна от другой. Значения называют порядком дифракционного спектра.

Вывод формул (5) и (6) можно найти в литературе.

Если освещать решетку белым светом, в максимумах каждого порядка должны наблюдаться спектральные линии различных цветов от фиолетового до красного. В соответствии с формулой (5) линия красного цвета должна располагаться дальше от центра дифракционной картины по сравнению с линией фиолетового цвета в максимуме любого порядка.

В данной работе измеряются длины волн красного и фиолетового цветов. При помощи формулы (5) можно рассчитать предельное количество максимумов, которое может быть получено с использованием имеющейся дифракционной решётки на заданной длине волны. Действительно, максимально возможный угол дифракции равен 90 градусов (в этом случае дифрагированные лучи скользили бы по плоскости решётки). Тогда количество максимумов будет равно

(7)

Для наблюдения максимумов и минимумов параллельные лучи обычно собирают (фокусируют) линзой, а экран располагают в ее фокальной плоскости. Однако линза не обязательна. Ведь и без нее в точку наблюдения приходят все лучи от решетки. Если экран расположен достаточно далеко, то сходящиеся лучи, приходящие в точку , почти параллельны, и разность хода между ними почти такая же, как и между параллельными лучами. В действительности она несколько больше, но если различие в разности хода много меньше, чем половина длины световой волны, то оно не вносит существенных поправок в результат интерференции.

Дифракционная решётка проходящего света может применяться для разложения белого света в спектр. Основными характеристиками всякого спектрального прибора являются его дисперсия и разрешающая сила. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу. Разрешающая сила определяет мини­мальную разность длин волн, при которой две линии восприни­маются в спектре раздельно.

Угловой дисперсией называется приращение угла дифракции, соответствующее единичному приращению длины волны:

(8)

Чтобы вычислить угловую дисперсию дифракционной решетки, возьмем дифференциал от правой и левой частей условия главного максимума (5):

(9)

Отсюда угловая дисперсия дифракционной решётки будет равна:

(10)

Линейной дисперсией называется приращение линейного расстояния на экране между двумя спектральными линиями, соответствующее единичному приращению длины волны:

(11)

Разрешающей силой спектрального прибора называют без­размерную величину, равную отношению длины волны одной из двух уже разрешенных прибором спектральных линий к разности длин волн этих линий, которая является минимальной разностью длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно.

(12)

Возможность разрешения (раздельного восприятия) двух близких спектральных линий зависит не только от расстояния между ними (которое определяется дисперсией прибора), но также и от ширины спектрального максимума. Правило, согласно которому определяют, разрешены ли соседние спектральные линии, называется критерием Рэлея: два близких максимума воспринимаются раздельно в том случае, если середина одного максимума совпадает с краем другого. В этом случае максимум интенсивности одной спектральной линии совпадает с минимумом интенсивности второй линии. При этом интенсивность в промежутке между максимумами составляет не более 80% от интенсивности максимума.

Взаимное расположение максимумов, соответствующее критерию Рэлея, получается при определенном (минимальном для данного прибора) значении . Это означает, что прибором уже разрешаются две спектральные линии с длинами волн и .

Найдем разрешающую силу дифракционной решетки с учетом критерия Рэлея. Положение середины m-го главного максимума для длины волны определяется из условия (5):

(13)

Согласно условию добавочных минимумов дифракционной решётки:

(14)

где - число щелей решётки, края m-го главного максимума для длины волны расположены под углами, удовлетворяющими соотношению (14). Вывод формулы (14) необходимо найти в учебной литературе.

Середина максимума для длины волны совпадет с краем максимума для длины волны в том слу­чае, если, согласно (14):

(15)

Отсюда

(16)

Решив это уравнение относительно , получим выражение для разрешающей силы дифракционной решетки:

(17)

Таким образом, разрешающая сила дифракционной решетки пропорциональна порядку спектра и числу щелей дифракционной решётки.