Вопрос 2. Теорема Гаусса для вектора электрического смещения.

Рассчитаем поток век­тора смещения D сквозь сферическую поверхность S радиусом r , которая совпадает с эк­випотенциальной поверхностью поля, созданного точечным зарядом q (рис. 3, а).

Рис. 3, а

Согласно определению (1.3) с учетом выражения (1.2) имеем:

Рис. 3, б

Полученный результат справедлив и для замкнутой поверхности произвольной формы S*, охватывающей заряд q (рис. 3, а), поскольку каждая линия вектора сме­щения D, пронизывающая сферу S, пройдет и сквозь поверхность S*. Если замкнутая поверхность S** не охватывает заряд, создающий поле (рис. 3, б), то общее коли­чество линий вектора D, входящих внутрь поверхности S**, будет равно количеству выходящих.

Поэтому для поля точечного заряда справедлива теорема, предложенная К.Гауссом: поток вектора электрического смещения D поля точечного заряда q сквозь любую замкнутую поверхность S равен заряду q, если эта поверхность охва­тывает заряд, и равен нулю, если поверхность не охватывает заряд.

Ф = q – если поверхность охватывает заряд,Ф = 0 – если поверхность не охватывает заряд.

С учетом принципа суперпозиции эту теорему можно распространить на произ­вольную систему электрических зарядов, создающих поле. В общем случае теорема Га­усса для электрического поля утверждает: поток вектора электрического смещения D сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью, т.е.:

(1.4)

Здесь N— число зарядов, причем суммирование проводится только по тем зарядам, ко­торые попали внутрь замкнутой поверхности (на это указывает штрих у знака суммы).

Если заряд распределен каким-либо образом, то суммарный заряд определяется путем интегрирования.

Теорема Гаусса позволяет рассчитывать характеристики симметричных электри­ческих полей заряженных тел простейшей геометрической формы, причем вычисле­ния проводить намного проще, чем на основании принципа суперпозиции. Это видно из следующих примеров. Задача 3.

Вопрос №3. Расчет поля равномерно заряженных бесконечных плоскостей

Рас­смотрим поле, создаваемое одной бесконечной плоскостью, которая равномерно заряжена с посто­янной поверхностной плотностью σ. Из соображений симметрии следует, что вектор D на­правлен перпендикулярно плоскости так, как это показано на рис. 4, а (σ > 0), а его числовое значение будет одинаковым во всех точках пространства, расположенных на оди­наковых расстояниях слева и справа от плоскости. Поэтому в качестве замкнутой выберем цилиндрическую поверхность, основания которой параллельны плоскости, а ось перпенди­кулярна ей.

Тогда в точках левого и правого оснований проекция D_n=D, а в точках боковой поверхности D_n = 0, так как вектор D параллелен образующим боковой поверхности. Охва­тываемый цилиндром заряд поэтому уравнение (1.4) примет вид:

Поскольку S₁ = S₂ = S, окончательно получим:

D =σ / 2 – для одной плоскости.

Рис. 4, а

Если заряженная плоскость расположена в однородной изотропной диэлектриче­ской среде, то создаваемую такой плоскостью напряженность поля определим с помо­щью формулы [см. формулу (1.1)],тогда

отсюда следует в результате чего получим:

(1.5)

-для одной бесконечной плоскости

Разность потенциалов двух точек пространства, находящихся на расстоянии х₁ и x₂ от заряженной плоскости (рис. 4, б), рассчитаем путем интегрирования, ис­пользуя формулу для взаимосвязи = - grad φ (Е = Δ φ ). Для этого случая получим:

(1.6)

Рис. 4, б

Поле двух параллельных бесконечных плос­костей, заряженных равномерно с поверхностными плотностями +σ и - σ, т.е. плоского конденсатора( в случае реального плоского конденсатора поле создается обкладками конечного размера, однако, если расстояние d между ними намного меньше линейных размеров обкладок, их можно считать бесконечными), рассчитаем с помощью принципа суперпозиции, складывая напряженность полей, создаваемых каж­дой плоскостью в отдельности (см.рис. 5).

Из рис. 5. видно, что поля обкладок кон­денсатора слева и справа от их плоскостей взаимно компенсируют друг друга (D = 0, Е = 0), а между ними смещение D и напряженность Е увеличива­ются в 2 раза, поэтому (D₊ = D_ = σ / 2):