Вопрос 4. Философия и проблема обоснования математики

Сводится к: 1. обоснованию строгости (законченности) мат. доказательств; 2. обоснованию непротиворечивости мат. теорий, составляющих фундамент мат. науки, прежде всего арифметика и теория множеств

1. Рассуждение, доказывающее строгость какого-либо доказательства, само должно быть обосновано в своей строгости. Лакатос – идеально строгих доказательств не существует; Проблема строгости математических доказательств м.б. решена только при прояснении природы элементарных очевидностей, лежащих в его основе. Следовательно, необходимость выбора между эмпиризмом и априоризмом как общими философскими воззрениями на природу математических понятий. 2. Парадоксы в теории множеств и математической логике в к. 20 в.: 2 пути: поиск минимальных ограничений для логики математических рассуждений; формулирование общих требований к математической теории, гарантирующих ее непротиворечивость.

Обоснование мат-ки на различных этапах развития мат-ки:1. VI в. До н.э. – XVII в. н.э. – период элементарной мат-ки. Античность: обоснование числовых преобразований достигалось через геометрию. Крах из-за открытия несоизмеримых величин. Ввод Аристотелем потенциальной бесконечности.; 2. XVII в. н.э. – нач XIX в. – мат-ка переменных величин. Ввод понятия б.м., предела, дифференциальное, интегральное исчисление. Гаусс вводит принципы мат-ки. 3. с XIX в. – современный этап – теория групп, теория множеств, возникновение неевклидовых геометрий (Лобачевский, Риман, Гильберт). Задача – создание единой мат-ки.

Три программы обоснования математики (н. XX в.):

1. Логицизм – Фреге – свести мат. понятия к понятиям логики и представлять принципы мат. теорий в качестве общезначимых логических истин; Гедель – почти все мат. теории, включая арифметику, если допустить их непротиворечивость, не являются полными. Следовательно, бесперспективность логицизма.

2. Интуиционизм – Л.Брауэр – задача редукции мат-ки к исходным представлениям арифметики, рассматривая последние в качестве необходимых и неразложимых интуиций сознания. Сл-но, только конструктивные рассуждения правильны и безусловно строги. Но какую-либо область мат-ки не удалось свести к арифметике. Сл-но, несостоятельность вследствие узости.

3. Формализм – Д.Гильберт – строгость мат-ки м.б. достигнута только через уточнение ее языка и через прояснение логической структуры теории, сл-но, строгая аксиоматизация и формализация мат. теории (от Фреге и Рассела); принцип финитизма – оперирование с бесконечным может быть сделано надежным только через конечное; содержательная метатеория (описание структуры формализма, общие принципы логики и специальные правила преобразования, допустимые в рамках формализованной теории) (безусловно истинная и достаточная для строгого обоснования непротиворечивости формализма). Успех формалистского обоснования обеспечивается надежностью метатеоретического доказательства.

Требования к метатеор. (принцип гильбертовского финитизма): метатеор. д.б. синтаксич. (имеет дело только со знаковой структурой теории и с допустимыми преобразованиями),содержательной, финитной (предельной), конструктивной. Принцип отделения оснований от философии (т.е. выделение принципов метатеор. должно совершаться только на основе мат-х критериев). Но! Программа Гильберта была поставлена под сомнение Т. Геделя о непротиворечивости (если некоторая теория непротиворечива и неполна, то доказательство ее непротиворечивости не может быть получено средствами, формализованными в этой теории.), сл-но, нельзя обосновать сложные мат. теории несколькими достаточно простыми средствами, включенными в эту метатеорию.

Т.О.: провал всех программ. !Но! существуют другие концепции обоснования, утв., что некот. требования к метатеории м.б. существенно смягчены без ущерба для строгости рассуждений, в частности можно отказаться от требования конструктивности. Совр. логич. и гносеологич. анализ свидетельствует о том, что можно отказаться в определенной мере от требования финитности.

Вывод: * проблема обоснованности математики пока не может считаться решенной ни в «+» ни в «–» смысле, но есть все основания полагать, что возможности ее положительного решения не так ограничены

* продвижение к строгому обоснованию математики зависит от понимания природы математического мышления, которое находится в процессе постоянного совершенствования.