5.6. Неоднородная система лду. Метод решения – метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Метод Лагранжа решения систем НЛДУ вида (5.3) заключается в следующем:

- сначала решаем соответствующую систему ОЛДУ, получаем для нее общее решение,

- далее предполагаем, что общее решение исходной системы НЛДУ имеет такой же вид, но вместо произвольных констант в решении стоят некоторые функции независимого аргумента,

- эти неизвестные функции определяем при решении системы уравнений вида:

(5.8)

_{Где столбцы хj=(x1j, x2j,…, xnj)}^Т _{составляют ФСР системы ОЛДУ. Эта система уравнений} относительно производных неизвестных функций С_i (t) имеет определитель, равный определителю Вронского, никогда не обращающегося в нуль (в области существования решений), а, следовательно, решение в виде вектор-функции С'=(С'₁(t), С'₂(t),…, С'_n(t))^т существует и оно единственно.

Подробности вывода системы (5.8) см. [1], глава 3.

Пример 5.7. Решим систему

Решаем сначала соответствующую систему ОЛДУ.

Матрица системы А= и, соответственно, характеристическое уравнение имеет вид: . Откуда и собственные векторы матрицы: и

Комплекснозначные решения системы, составляющие ФСР, имеют вид:

и

Возьмем в качестве действительных решений действительную и мнимую часть комплекснозначных решений. Тогда общее решение системы ОЛДУ примет вид:

_{Составим систему (5.8) для отыскания неизвестных функций С1(t) и C2(t).}

Из первого уравнения имеем . Подставив выражение во второе уравнение, получим . Отсюда , где А₁ и А₂ – произвольные константы. Тогда общее решение исходной системы НЛДУ после несложных преобразований примет вид: