3.4.3 Эквивалентное преобразование схемы при смешанном соединении элементов

Т акое преобразование выполняется последовательным методом, т.е. последовательно преобразуются участки цепи, имеющие простое соединение элементов. Рассмотрим такое преобразование на примере для обобщенной двухконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис. 4.15).

Э квивалентное сопротивление находим методом последовательных эквивалентных преобразований. Этот метод состоит в поэтапном преобразовании простых участков цепи. Они показаны на рис. 3.16:

Z₃₄ =Z₃+Z₄,

Z₂₃₄ = Z₃₄ Z₂/(Z₃₄+Z₂),

Z₁₂₃₄ = Z₁ + Z₂₃₄ = Z_экв.

а б в

Рис. 3.16

3.4.4. Эквивалентное преобразование источников электрических сигналов.

Л юбой источник электрического сигнала может быть представлен одной из двух схем (рис. 3.17, 3.18), поскольку при определенном выборе параметров элементов эти схемы эквивалентны, т.е. ток нагрузки I_н и напряжение на нагрузке U_н в этих схемах одинаковы.

Схему 1 можно заменить схемой 2, если параметры схемы 2 выбраны из условий: I = E/Z_i1, Z_i2 = Z_i1.

Схему 2 можно заменить схемой 1, если параметры схемы 1 выбраны из условий: E =I Z_i2, Z_i1 = Z_i2.

Следует отметить, что эти источники эквивалентны лишь для внешней цепи. Токи, протекающие через внутренние сопротивления, как видно из схем, различны.

3.5. Методы анализа (расчета) линейных цепей при гармоническом воздействии

в общем случае расчет электрических цепей сводится к отысканию токов во всех ветвях схемы. Основными методами анализа (расчета) являются:

1. метод токов ветвей (МТВ);

2. метод контурных токов (МКТ);

3. метод узловых потенциалов (МУП);

4. метод наложения.

Название метода дается в соответствии с тем, какая величина при составлении уравнений состояния принимается за неизвестную в данном методе расчета. Рассмотрим подробнее эти методы.

3.5.1. Метод токов ветвей (мтв)

Данный метод основан на применении 1-го и 2-го законов Кирхгофа. За неизвестные величины в этом методе принимаются искомые токи во всех ветвях схемы кроме ветвей, содержащих заданные источники тока. Для того чтобы задача имела однозначное решение для схемы, состоящей из N ветвей с неизвестными токами, необходимо составить N независимых уравнений.

Порядок решения данным методом.

1) Проводится топологический анализ схемы.

а ) Определяют число ветвей, не содержащих источники тока: N. Во всех ветвях стрелками показывают условное положительное направление токов и нумеруют их I₁, I₂, …, I_N.

б) Подсчитывают число узлов у и определяют число независимых узлов N_у = у – 1.

в) Подсчитывают число независимых контуров по формуле N_k = N – N_у. На схеме независимые контуры выделяют дугами. Стрелкой на дуге показывают положительное направление обходов элементов контуров. Эти контуры нумеруют. За положительное направление принимают направление по часовой стрелке.

2) По 1-му и 2-му законам Кирхгофа относительно токов ветвей записывают уравнения. Общее число уравнений составляет N_y + N_k = N, это означает, что записанная система относительно токов ветвей имеет однозначное решение. В общем случае для схемы из N ветвей составленные уравнения образуют систему линейных алгебраических уравнений N-го порядка:

г де x_i= I_i – искомые токи ветвей; a_ji – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров пассивных элементов схемы; в_i – постоянные величины, зависящие от параметров активных элементов схемы.

3) Токи в ветвях находят по правилу Крамера

x_i= ; ,

где  – главный определитель системы; _i – определитель, получается из главного  путем замены i-го столбца на столбец свободных членов в_i.

Пример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 3.19). Определить токи во всех ветвях схемы.

1 ) Проведем топологический анализ.

а) N = 3; б) y = 2, N_у =1; в) N_k = N – N_у = 2.

2. Запишем систему уравнений, составленную по методу токов ветвей.

I ₁ – I₂ – I₃ = –J для узла 1;

Z₁I₁+ Z₂ I₂ + 0 I₃ = E₁ – E₂ для контура 1;

0 I₁+ Z₂ I₂ + Z₃ I₃ = E₂ для контура 2.

4.3.2. Метод контурных токов (МКТ)

Метод основан на 2-м законе Кирхгофа. При его использовании в составе анализируемой схемы выбирают независимые контуры и предполагают, что в каждом из контуров течет свой контурный ток. Для каждого из независимых контуров составляют уравнение по 2-му закону Кирхгофа и их решают. Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по данной ветви.

Все источники сигналов, представленные источниками тока, заменяют эквивалентными источниками ЭДС (рис. 3.20).

Э та схема эквивалентна, если

а ) E = JZ_i^I;

б ) Z_i^II = Z_i^I.

1) Топологический анализ схемы.

а) Как и в предыдущем методе, определяют число ветвей N.

б) Определяют число узлов у.

в) Подсчитывают число независимых контуров N_k = N – y + 1.

Все независимые контуры обозначены дугами со стрелками на них, которые показывают положительное направление обхода.

Все контуры нумеруют и каждому контуру присваивают свой контурный ток: I_k1; I_k2; I_kNk.

За положительное направление контурного тока принимают положительное направление обхода контура.

2) По второму закону Кирхгофа относительно контурных токов записывают уравнения, которые после приведения подобных членов образуют систему линейных уравнений N_k = N_k порядка:

где I_ki – контурный ток i-го контура;

Z_ii – собственное сопротивление i-го контура и равно алгебраической сумме сопротивлений, входящих в i-й контур;

Z_ji – сопротивление смежных ветвей между i-м и j-м контурами. Оно представляет собой алгебраическую сумму, причем ее члены берутся со знаком «+», если контурные токи направлены одинаково, и со знаком «–», если они направлены встречно;

E_ki – контурная ЭДС i-го контура. Она равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в i-й контур. Контурная ЭДС E_ki берется со знаком «+», когда направление источника ЭДС и направление тока совпадают, и со знаком «–», если они направлены встречно.

3 ) По правилу Крамера находят контурные токи I_ki= .

4) Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через данную ветвь. Если токи оказались положительными, то выбранное направление совпадает с истинным, и наоборот. При этом находятся все токи, за исключением токов, протекающих через внутреннее сопротивление источников токов, преобразованных в источники ЭДС. Чтобы найти эти токи, необходимо вернуться к исходной схеме, тогда эти токи находятся по первому закону Кирхгофа из уже найденных внешних токов источников.

Для линейной цепи, состоящей из R, L, C и независимых источников электрической энергии матрица сопротивлений всегда квадратная и симметричная относительно главной диагонали, т.е. Z_ij = Z_ji.

П ример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 3.21). Определить токи во всех ветвях.

Проводим топологический анализ

а) N = 6; б) y = 4; в) N_k = 6 – 4 + 1=3.

2) Составим систему уравнений по методу МКТ

где

E ₁₁= E₁; E₂₂ = 0; E₃₃ = 0.

3 ) По методу Крамера находим контурные токи I_ki = .

4 ) Находим токи в ветвях: I₁ = I_k1; I₂ = I_k1 – I_k2; I₃ = I_k1 – I_k3; I₄ = –I_k2 + I_k3; I₅ = I_k2; I₆ = I_k3.

4.3.3. Метод узловых потенциалов (МУП)

Метод основан на применении первого закона Кирхгофа. В нем за неизвестные величины принимают потенциалы узлов. По закону Ома определяют токи во всех ветвях схемы.

В се источники ЭДС, имеющиеся в схеме, заменяют источниками тока (рис.3.22).

а) I = E/Z_i^I;

б) Z_i^II = Z_i^I.

1) Топологический анализ.

а) Подсчитывают число ветвей b и число узлов y. Определяется количество независимых узлов N_y = y – 1.

б) Нумеруют все узлы. Один из узлов, к которому сходится наибольшее число ветвей, считают нулевым, где – потенциал нулевого узла.

2) По 1-му закону Кирхгофа составляют уравнения для N узлов схемы и решают их относительно потенциалов узлов:

,

где Y_ii – собственная узловая проводимость. Она равна сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в i-м узле, все они берутся со знаком «+»;

Y_ij – межузловая проводимость между i-м и j-м узлами. Проводимости всех узлов берутся со знаком «–»;

I_ii – алгебраическая сумма токов источников тока, сходящихся в i-м узле. Втекающие токи записываются в эту сумму со знаком «+», а вытекающие – со знаком «–».

3) Потенциалы узлов находят по формуле Крамера: .

4) Токи в ветвях находят по закону Ома: I = (₁ – ₂)/Z.

Пример. Дана электрическая цепь (рис.3.23). Рассчитать токи во всех ветвях.

П

I₂

Z₂

редварительно преобразуем все источники напряжения (рис.3.23) в источники тока (рис.3.24).

Z₁

Z₂

Z₃

Z₄

E₁

E₂

I

I₁

I₂

I₄

I

I₃

I₁

Z₁

Z₃

Z₄

Рис. 3.23 Рис. 3.24

Проведем топологический анализ.

а) число ветвей N = 4 с токами: ;

б) число независимых узлов N_у = 2, их потенциалы: φ₁ и φ₂ (рис.3.24).

Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов:

;

.

По методу Крамера найдем потенциалы узлов: .

По закону Ома найдем токи во всех ветвях схемы:

.

Частный случай. Исследуемая цепь может содержать идеальный источник напряжения (без последовательно включенного сопротивления), включенный между двумя узлами. В этом случае один из этих узлов целесообразно принять за базисный. Тогда узловое напряжение другого узла будет равно ЭДС источника (со знаком плюс или минус), т.е. известное. Следовательно, узел, к которому подключен источник напряжения, в этом случае оказывается зависимым, число неизвестных узловых напряжений уменьшается до n₁ = N_у – 1 – p_ин (p_ин – число идеальных источников ЭДС). Узловые уравнения формируются только для узлов, к которым не подключены источники напряжений. В левой части равнений в первоначальной их записи учитываются все узловые напряжения, как известные, так и неизвестные, но затем члены, содержащие известные узловые напряжения, переносят в правую часть уравнений.

Контрольные вопросы

1. каковы основные свойства линейных цепей?

2. Какие узлы и контуры называются независимыми?

3. З аписать закон Ома в комплексной форме.

4. На каком законе основаны методы контурных токов и узловых потенциалов.

5. Записать уравнения по методу контурных токов для схемы на рис. 3.25.

6. З аписать уравнение по методу узловых потенциалов для узла А схемы на рис. 3.26.

7. Записать второй закон Кирхгофа (для контура J₁ на рис.3.26).

8. Записать уравнение по методу узловых потенциалов для узла А схемы на рис. 3.26.

9. Записать уравнения по методу контурных токов для схемы на рис. 4.35.

10. Для независимых узлов схемы на рис. 3.26 записать уравнения по 1-му закону Кирхгофа.

a) I1 – I2 – I3 = 0 I2 + I3 – I4 – I5 = 0 I4 + I5 – I1 = 0	б) I1 – I2 – I3 = 0 I2 + I3 – I4 – I5 = 0
в) I1 + I2 – I3 = 0 I2 + I3 – I4 – I5 = 0 I4 + I5 – I1 = 0	г) I1 + I2 + I3 = 0 I2 + I3 – I4 – I5 = 0

16