3. Линейные электрические цепи при гармоническом воздействии в установившемся режиме

Линейными называются системы, процессы в которых описываются линейными дифференциальными уравнениями.

Идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, называются цепями с сосредоточенными параметрами. Цепи такого типа используются в качестве упрощенных моделей реальных цепей и их элементов на сравнительно низких частотах, когда длина волны электромагнитных колебаний существенно больше размеров исследуемого устройства. В таких цепях токи и напряжения в различных сечениях цепи зависят только от времени и не зависят от координаты сечения х. Такая идеализированная цепь содержит конечное число идеализированных элементов, значения параметров которых конечны.

Когда длина волны  электромагнитных колебаний (ЭМК) соизмерима с размерами устройства, не удается пространственно локализовать области, в которых сосредоточены только эффекты одного типа. Токи и напряжения в таких цепях зависят не только от времени, но и от координаты. Процессы в таких цепях описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Такие идеализированные цепи называются цепями с распределенными параметрами.

Например, если устройство имеет размеры около 1 м, а =100м, такую цепь вполне можно рассматривать как цепь с сосредоточенными параметрами. Этой длине волны соответствует частота f=c/=310⁸/10²=310⁶ Гц=3 МГц (c – скорость света).

О сновные свойства линейных цепей.

1. В линейных цепях выполняется принцип суперпозиций, т.е. отклик линейной цепи на сумму воздействий равен сумме откликов на действие каждого воздействия в отдельности.

Если x(t) = x₁, то y = y₁= kx₁;

если x(t) = x₂, то y = y₂= kx₂;

если x(t) = x₁+x₂, то y = kx₁+kx₁ = y₁+y_2.

2. В линейных цепях новых гармонических составляющих не возникает.

3.1. Дифференциальное уравнение цепи при гармоническом воздействии

Рассмотрим линейную электрическую цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под монохроматическим (одночастотным) гармоническим воздействием x(t) = X_m cos(₀t – ₀). Дифференциальное уравнение этой цепи, составленное для любого из неизвестных токов и напряжений y_i, имеет вид

,

где f_i(t) – линейная комбинация функции x(t), описывающей внешнее воздействие, и ее производных. Значение n характеризует порядок сложности цепи (порядок цепи) и равно числу независимых реактивностей (емкостей и индуктивностей).

Любые линейные операции над гармонической функцией (сложение, умножение на число, дифференцирование, интегрирование) приводят к гармонической функции той же частоты, отличающейся только амплитудой и начальной фазой. Поэтому в установившемся режиме f_i(t) имеет вид

.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что в этом случае имеется единственное периодическое решение

.

Следовательно, в установившемся режиме задача анализа сводится к определению амплитуд и начальных фаз интересующих токов и напряжений.

3.2. Метод комплексных амплитуд

В линейных цепях при гармоническом воздействии установившиеся напряжения и токи являются гармоническими функциями времени. Воздействие x(t) и отклик y(t) можно представить в комплексном виде:

,

.

Параметр цепи – отношение отклика к воздействию – не зависит от времени:

.

Поэтому при гармоническом воздействии в установившемся режиме токи и напряжения можно представлять их комплексными амплитудами, а параметры элементов комплексными сопротивлениями или проводимостями.

в общем случае расчет (анализ) электрических цепей сводится к отысканию токов во всех ветвях схемы. При гармоническом воздействии в основу всех методов расчета линейных цепей положен символический метод комплексных амплитуд (МКА).

Метод комплексных амплитуд состоит в следующем:

1) исходная схема электрической цепи заменяется комплексной схемой замещения, в которой:

а) все пассивные элементы заменяются их комплексными сопротивлениями, как показано на рис. 3.2.

б ) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, т.е. х(t) = X_m cos(₀t + _x)  X_m = X_m e ^jx.

2 ) Расчет электрической цепи сводится к составлению уравнений состояния цепи на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождению комплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, т.е. Y_m = Y_m e^–jy.

3) Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, т.е.

Y _m =Y_m e ^–jy  y(t) = Y_m cos(₀t – _y).