3.3. Комплексные сопротивления идеализированных элементов цепи.

Комплексным сопротивлением называется отношение комплексных амплитуд напряжения и тока . Мгновенные значения токов и напряжений на участке цепи, обладающем сопротивлением, связаны законом Ома: u(t)=Ri(t) или, в комплексной форме, . В данном случае комплексное сопротивление является вещественным числом:

.

Мгновенные значения тока, протекающего через емкость, пропорциональны скорости изменения напряжения:

.

Представив мгновенные значения в виде гармонического комплекса можно записать:

.

Отсюда комплексное сопротивление емкости является мнимым числом:

=.

– модуль комплексного сопротивления емкости зависит от частоты, причем емкость имеет бесконечно большое сопротивление для постоянного тока (ω = 0) и бесконечно малое сопротивление, когда частота тока стремится к бесконечности;

Аргумент комплексного сопротивления емкости равен  =_u – _i = –90. Это следует из соотношения =е^–j /2. Отсюда ток на емкости опережает напряжение на 90, или напряжение отстает от тока на 90.

Аналогично, записав выражения для мгновенных значений тока и напряжения на линейном индуктивном элементе в комплексной форме, получаем

.

Отсюда .

Комплексное сопротивление индуктивности является мнимым числом, его модуль линейно растет с частотой . Напряжение опережает ток на 90 ( ), т.е. _u – _i = 90.

Рис.3.2

3.2 Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.

Введение комплексных сопротивлений позволяет применять закон Ома не только для активного (омического) сопротивления, но и емкостного и индуктивного сопротивлений, а также для любых их комбинаций. Уравнения, выражающие законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин: комплексных амплитуд и комплексных сопротивлений.

1. Закон Ома устанавливает связь между комплексными амплитудами тока и напряжения на участке цепи.

1.1. Закон Ома для участка цепи, не содержащего источника ЭДС (рис. 3.3):

,

г де Z – комплексное сопротивление участка цепи, – напряжение на данном участке цепи.

1.2. Закон Ома для участка цепи, содержащего источники ЭДС, представлен на рис. 3.4.

Закон Ома позволяет определить ток на этом участке цепи.

Члены алгебраической суммы берутся со знаком «+», если направления ЭДС и тока совпадают, и со знаком «–», если не совпадают.

– арифметическая сумма комплексных сопротивлений на данном участке, все члены суммы берутся со знаком «+».

.

2. Законы Кирхгофа в комплексной форме.

2.1. Первый закон Кирхгофа (для узла): алгебраическая сумма комплексных амплитуд токов ветвей, сходящихся в узле равна нулю.

П ри записи первого закона Кирхгофа (рис. 3.5) пользуются следующим правилом: токи, втекающие в узел, берутся со знаком «+», а вытекающие – со знаком «–»:

.

2

Рис. 3.6

.2. Второй закон Кирхгофа (для контура): алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура (рис.3.6) равна алгебраической сумме источников ЭДС, входящих в контур:

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа:

1. выбирают условно-положительное направление обхода элементарного контура;

2. члены суммы берутся со знаком «+», если ток через элемент и направление обхода совпадают, и со знаком «–» в противном случае;

3. слагаемые правой суммы берутся со знаком «+», если направление источника ЭДС и направление обхода совпадают, и со знаком «–» в противном случае.