4.2 Моделирование в условиях неопределённости
...Вряд ли можно считать, что мозг в сравнении с современными вычислительными машинами не имеет определенных преимуществ...
Главное из этих преимуществ, - по-видимому, способность мозга оперировать с нечетко очерченными понятиями.
При решении сложных технических, экономических, технологических, социальных и других задач мы сталкиваемся с тем что сложнее система, тем менее мы способны дать точные и в то же время имеющие практическое значение суждения о ее поведении. Такая ситуация в [130] определяется термином «принцип несовместимости». Следствие из этого принципа кратко можно выразить так: « Чем глубже мы анализируем реальную задачу, тем неопределеннее становится ее решение». Именно в этом смысле точный количественный анализ поведения сложных систем для практического исследования реальных задач, по-видимому, недостаточен. В [24,39,56,73,82,130] предлагается подход, который опирается на предпосылку о том, что элементами исследования являются не числа, а некоторые нечеткие множества, для которых переход от «принадлежности к классу» к «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен. В основе такого подхода лежит не традиционная двузначная или даже многозначная логика, а логика с нечеткой истинностью, нечеткими связями и нечеткими правилами вывода. Этот подход имеет три отличительные черты:
в нем используются так называемые «лингвистические» переменные вместо числовых переменных или в дополнение к ним;
простые отношения между переменными описываются с помощью нечетких высказываний;
3) сложные отношения описываются нечеткими алгоритмами. Отметим, что с математической точки зрения предложенный
подход как метод Описания неопределенности лежит между описаниями с позиций теории вероятностей и математической статистики (в этом случае параметры системы, имеющие вероятностный, случайный характер, определяются некоторыми распределениями) и с позиций интервальной математики, при котором характеристики задаются диапазонами возможных значений (верхними и нижними границами).
Подобный тип задач чаще всего имеет место в том случае, когда концептуальная постановка задачи сформулирована в виде некоторого неопределенного высказывания типа «Если А, то В» (А=> В), в котором А и В можно описать нечеткими множествами.
Прежде чем перейти к подробному обсуждению предлагаемого подхода, приведем некоторые основные положения.
Нечеткое множество — это математическая модель класса с нечеткими или, иначе говоря, размытыми границами.
В этом понятии учитывается возможность постепенного перехода от принадлежности к непринадлежности элемента множеству. Иными словами, элемент может иметь степень принадлежности множеству между полной принадлежностью (1) и полной непри
В [130] предполагается, что функция принадлежности — это некоторое невероятностное субъективное измерение неточности, что она отлична от плотности вероятности и от функции распределения вероятности. Иногда под функцией принадлежности понимают возможность или полезность того или иного события.
В данной работе, так же как в [39], под значением функции принадлежности µA(x) нечеткого множества А для любого х ∩ X будем понимать вероятность того, что лицо, принимающее решение (ЛПР), отнесет элемент х к множеству А. В случае, когда А — некоторое понятие естественного языка, ах— элемент множества объектов, обозначаемых понятием A, µA{x) есть вероятность того, что ЛПР использует А в качестве имени объекта х. Необходимо отметить, что:
приведенная интерпретация, которую будем называть вероятностной, не исключает других (в том числе невероятностных);
элемент х, как следует из определения, уже предъявлен ЛПР, а ЛПР и решает задачу отнесения элемента к нечеткому множеству A.
В качестве конкретного примера применения аппарата теории нечетких множеств для математического моделирования некоторого явления рассмотрим следующую задачу.
Пример 5.1. Пусть справедливым считается следующее высказывание: «Если дорога скользкая — езда опасная, в противном случае — не опасная». Необходимо определить, в каком случае езда будет более опасной: если дорога не очень скользкая или дорога очень не скользкая!
Отметим, что в качестве примера выбрано простейшее утверждение, которое легко формализуется, ответ на него почти очевиден. В реальных задачах операций может быть десятки и сотни и ответы на поставленные вопросы не так тривиальны.
Для математической постановки представленной задачи необходимо ввести ряд определений и некоторые простейшие операции с нечеткими множествами, что и делается ниже.
Носителем нечеткого множества A (SuppA или S(A)) называется множество (в обычном смысле), определяемое как
где функция принадлежности двух переменных в зависимости от постановки задачи показывает предпочтение или сходство элементов первого и второго нечетких множеств.
Сравнивая определения нечеткого множества и нечеткого отношения, можно видеть, что последнее — это нечеткое множество с векторной базовой переменной. В зависимости от того, для чего используются бинарные нечеткие отношения, вводятся нечеткие отношения сходства и нечеткие отношения предпочтения.
Для примера рассмотрим бинарное отношение сходства. Предположим, что Х= {яблоко, груша}, Y= {айва, апельсин). Сходство будем оценивать по степени сладости зрелых фруктов (функция принадлежности в этом примере выбирается субъективно; в данном случае полагают, что по степени сладости груша и апельсин наиболее близки, а груша и айва - наименее близки друг другу).
Бинарное нечеткое отношение сходства между элементами множеств Хи Y можно записать в виде:
сходство ={0,8/(яблоко, айва); 0,6/(яблоко, апельсин);
0,2/(груша, айва); 0,9/(груша, апельсин)}.
Для удобства записи в теории нечетких множеств нечеткие отношения обычно представляются в виде так называемой матрицы отношений. В данном случае имеем:
где элемент Rij равен значению функции µR(x,y) для i-го элемента
Хи j-го элемента Y.
В реальных задачах часто возникает такая ситуация. Между множествами X -»Y и Y -> Z имеются бинарные нечеткие отношения. Необходимо установить бинарное нечеткое отношение между множествами X -> Z . Эта ситуация требует введения операции произведения отношений. Пусть R — отношение X -» Y , а S — отношение Y -» Z , тогда отношение X -» Z определит произведение R ° S , которое в теории нечетких множеств определяется как максиминное произведение следующего вида:
При выполнении обычного произведения матриц элемент матрицы-произведения, стоящий в i-oй строке и к-om столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-oй строки первой матрицы и k-го столбца второй матрицы. По существу, максимин-ное произведение определяется как обычное произведение матриц [35], где вместо операции умножения вводится min, а вместо операции сложения — max.
Пусть, например,
Если обратить внимание на структуру наименования лингвистической переменной, то можно отметить, что в общем случае это составной термин, представляющий сочетание некоторых элементарных терминов. Эти элементарные термины можно разбить на четыре основных категории:
первичные — символы специальных нечетких подмножеств, например молодой, старый и т.д.;
отрицание НЕ и союзы И, ИЛИ;
неопределенности типа: очень, слабо, более или менее и т.д.;
маркеры чаще всего это вводные слова
Пример. Пусть нечеткое множество описывается составным термином: «по мнению окружающих, это был не очень сильный и совсем не высокий человек». Выделим основные категории:
первичные термины — сильный, высокий (человек);
отрицание НЕ и союзы И;
неопределенности — очень, совсем;
маркеры — по мнению окружающих.
Отрицание НЕ, союзы И, ИЛИ, неопределенности типа очень, весьма, больше, меньше и др., которые входят в определение значений лингвистических переменных, могут рассматриваться как символы различных операций, определенных на нечетких подмножествах U. Рассмотрим наиболее существенные из них.
Пусть Aw. В — нечеткие множества; S(A), S(B) — их носители. Обычно вводятся два набора определений основных операций над нечеткими множествами: максиминный (mm) и вероятностный (р) [79,111]. Объединением нечетких множеств А и В в U называется
нечеткое множество А и В с функцией принадлежности вида
В результате применения этой операции к множеству А снижается степень нечеткости описания, причем для элементов с высокой степенью принадлежности это уменьшение относительно мало, а для элементов с малой степенью принадлежности — относительно велико.
При а = 0,5 получаем операцию растяжения (DIL): DIL(A) = = А0,5. Эта операция увеличивает степень нечеткости исходного нечеткого множества.
Неопределенность удобно определить через некоторые основные операции (особенно операции степень, CON, DIL). Покажем, как это можно сделать для неопределенности очень. Аналогичным, образом можно установить неопределенности: больше, меньше, много, слабо, вроде, вполне и др.
В обычном использовании неопределенность очень не имеет четко определенного значения и действует как усилитель, генерируя подмножества того множества, к которому она применяется. Аналогичным образом действует операция концентрирования, поэтому очень и, где и — некоторый термин, может быть определено как квадрат и, т.е
