ТЕОРИЯ РЯДОВ, ГАРМОНИЧЕСКИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

Числовые ряды

Пусть - бесконечная числовая последовательность. Выражение называется бесконечным числовым рядом, а числа - членами ряда; называется общим членом. Ряд часто записывают в виде .

Сумму первых и членов числового ряда обозначают через и называют п-й частичной суммой ряда:

Ряд называется сходящимся, если его п-я частичная сумма при неограниченном возрастании и стремится к конечному пределу, т.е. если . Число S называют суммой ряда. Если же п-я частичная сумма ряда при не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящимся.

Ряд , составленный из членов убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму .

Ряд называется гармоническим, расходится.

Основные теоремы о сходящихся числовых рядах.

Теорема 1. Если сходится ряд

,

то сходится и ряд

получаемый из данного ряда отбрасыванием первых членов (этот последний ряд называют - м остатком исходного ряда); наоборот, из сходимости - го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда.

Теорема . Если сходится ряд

и суммой его является число S, то сходится и ряд

причем сумма последнего ряда равна аS.

Теорема. Если сходится ряды

, ,

имеющие соответственно суммы S и , то сходится и ряд

причем сумма последнего ряда равна S +.

Теорема. Если ряд

сходится, то , т.е. при придел общего члена сходящегося ряда равен нулю (необходимый признак сходимости ряда).

Таким образом, если , то ряд расходится.

Важнейшие признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда

(1)

(2)

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1). Если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Этот признак остается в силе, если неравенства выполняются не при всех п, а лишь начиная с некоторого номера п = N.

Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда , одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Признак Коши. Если для ряда

существует = q, то этот ряд сходится при q <1 и расходится при q >1.

Признак Даламбера. Если для ряда

существует , то этот ряд сходится при k <1 и расходится при k >1.

Интегральный признак. Если f(x) при - непрерывная, положительная и монотонная убывающая функция, то ряд , где сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

где .

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняется следующие два условия: 1) и .

Возьмем п-ю частичную сумму сходящегося знакочередующегося ряда, для которого выполняется признак Лейбница

пусть -й остаток ряда. Его можно записать как разность между суммой ряда S и п-й частичной суммой т.е.

Величина оценивается с помощью неравенства

Знакопеременный ряд

сходится, если сходится ряд

В этом случае исходный ряд называется абсолютно сходящимся. Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение: Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и поэтому сходится. Найдем его сумму (знаменатель геометрической прогрессии). Следовательно

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение: Член данного ряда меньше соответствующих членов ряда , т.е. ряда

Но последний ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Следовательно, сходится и данный ряд.

Пример . Исследовать сходимость ряда

Решение: Сравним ряд с гармоническим рядом, у которого

Следовательно, данный ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение: Здесь удобно применить признак Коши, поскольку а предел

т.к. то ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

.

Решение: Применим признак Даламбера: имеем

Т.к. 2 > 1, то ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение: Применим признак Лейбница. Так как

то

Следовательно, выполнено первое условие признака Лейбница. Так как

то выполняется и второе условие. Значит, данный ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение: Составим ряд из абсолютных величин

Этот ряд бесконечно убывающая геометрическая прогрессия п, следовательно, данный ряд сходится, причем абсолютно.