Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение ВПО Тюменский государственный архитектурно-строительный университет

Кафедра экономики

Контрольная работа

по курсу «СТАТИСТИКА»

раздел «Общая теория статистики»

Выполнила:

Малыгина Ю.В.

ст. гр. БУАиА10-2, очная форма обучения, зачетная книжка №БУ10-16

Проверила:

Евдокимова Е.С.

ТЮМЕНЬ 2012

Вариант 10

Задача 1.

По группе предприятий имеются следующие данные:

Номер п/п	Валовая продукция	Среднесписочное число работающих	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн.руб.	Прибыль, тыс. руб.
1	360	445	390	269
2	480	219	470	130
3	980	519	1590	219
4	230	232	240	196
5	1330	338	1240	304
6	490	238	680	273
7	780	344	760	253
8	360	206	490	318
9	960	402	900	122
10	920	495	1180	158
11	340	201	740	473
12	1300	530	1020	105
13	1550	355	480	290
14	430	140	250	236
15	1840	198	480	666
16	1360	335	1030	277

На основе выше представленных результатов 8 % выборочного обследования ТЭП деятельности предприятий города следует :

1. По несгруппированным сведениям построить линейное уравнение множественной регрессии (у – размер стоимости имущества предприятия) и вычислить его параметры. Оценить эластичность между ТЭП. Построить матрицу линейных коэффициентов корреляции. Рассчитать множественный коэффициент корреляции. Пояснить смысл коэффициента.

2. На основе параметров множественного уравнения линейной регрессии провести прогноз результативного показателя по предприятию № 11 в силу увеличения на 7,8 % показателя с наименьшей степенью влияния.

3. Установить зависимость между размером прибыли и прочими показателями.

4. По исходным данным таблицы № 1 произвести группировку предприятий по размеру стоимости имущества предприятия, выделив 5 групп. Методом аналитической группировки установить характер тесноты связи между исходными ТЭП на одно предприятие с помощью показателей средних величин и оценить структуру распределения предприятий по группам. Результаты оформить в виде таблицы. Сделать выводы.

5. По результатам группировки оценить зависимость между количеством предприятий в группе и размером результативного признака у с помощью эмпирического корреляционного отношения. Пояснить его смысл. Рассчитать теоретическое корреляционное отношение, пояснить его смысл.

6. Сравнить результаты анализа методом аналитической группировки и регрессионно-корреляционным методом. Сделать выводы.

7. С вероятностью 68,3% установить доверительный интервал среднего уровня группировочного признака для всех предприятий региона. Сделать выводы.

Решение:

1. Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид

где: y – размер стоимости имущества предприятия,

x₁ – валовая продукция,

x₂ – среднесписочное число работающих,

x₃ – прибыль.

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений методом подстановки:

_{Таким образом, линейное уравнение множественной регрессии имеет следующий вид:}

отсюда: а₀= ; а₁=0,1540137; а₂=1,97027; а₃=0,10481.

Оценим эластичность между ТЭП, воспользовавшись частным коэффициентом эластичности:

где: – среднее значение соответствующего факторного признака;

– среднее значение результативного признака (размер стоимости имущества предприятия);

– коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке.

Для построения матрицы линейных коэффициентов корреляции необходимо рассчитать все ее составляющие:

	y
y	1
		1
			1
				1

Аналогично определяем остальные линейные коэффициенты корреляции, в итоге получим:

	y
y	1	0,4	0,689	-0,213
	0,4	1	0,329	0,292
	0,689	0,329	1	-0,481
	-0,213	0,292	-0,481	1

Расчет линейных коэффициентов корреляции показал, что между показателем y и показателями x₁, x₂, x₃ существует прямая и обратная зависимость, например, между y и x₁, x₂ – прямая зависимость (т.е. если увеличиваются x₁, x₂, то и y также увеличивается и наоборот). А между y и x₃ – обратная зависимость: с увеличением x₃ значение y уменьшается и наоборот.

Найдем множественный коэффициент корреляции, используя «Вывод итогов» в надстройке Microsoft Excel «Пакет анализа» (см. таблицу ВЫВОД ИТОГОВ):

Вывод: расчеты показали, что с увеличением валовой продукции на 1 у.е., среднесписочного числа работающих на 1 чел. и прибыли на 1 тыс.руб. стоимость имущества предприятия возрастет соответственно в среднем на 0,1540137, 1,97027 и 0,10481 млн.руб. При увеличении валовой продукции, среднесписочного числа работающих и прибыли на 1% стоимость имущества в среднем возрастает соответственно на 0,18, 0,86 и 0,04%. Множественный коэффициент корреляции показал, что связь между факторами х_1, х_2, х₃ и величиной y сильная и прямая, то есть с увеличением факторов х_1, х_2, х₃ следует увеличение и результативного признака у.

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,71460082
R-квадрат	0,510654333
Нормированный R-квадрат	0,388317916
Стандартная ошибка	302,2848461
Наблюдения	16
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	1144261,462	381420,4874	4,174180883	0,030641838
Остаток	12	1096513,538	91376,12816
Итого	15	2240775
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение (a0)	-67,30874251	367,4059294	-0,183199935	0,857700044	-867,8174944	733,2000093	-867,8174944	733,2000093
Переменная X 1 (a1)	0,126833017	0,196567926	0,645237602	0,530916702	-0,301451701	0,555117736	-0,301451701	0,555117736
Переменная X 2 (a2)	2,036431953	0,853804662	2,385126298	0,034439741	0,176151403	3,896712502	0,176151403	3,896712502
Переменная X 3 (a3)	0,1619777	0,759712274	0,213209271	0,834743005	-1,493293147	1,817248548	-1,493293147	1,817248548

Таблица 1

Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии

№	Y	X1	X2	X3	Y*X1		X1*X2	X1*X3	Y*X2		X2*X3	Y*X3
1	390	360	445	269	140400	129600	160200	96840	173550	198025	119705	104910	72361	152100
2	470	480	219	130	225600	230400	105120	62400	102930	47961	28470	61100	16900	220900
3	1590	980	519	219	1558200	960400	508620	214620	825210	269361	113661	348210	47961	2528100
4	240	230	232	196	55200	52900	53360	45080	55680	53824	45472	47040	38416	57600
5	1240	1330	338	304	1649200	1768900	449540	404320	419120	114244	102752	376960	92416	1537600
6	680	490	238	273	333200	240100	116620	133770	161840	56644	64974	185640	74529	462400
7	760	780	344	253	592800	608400	268320	197340	261440	118336	87032	192280	64009	577600
8	490	360	206	318	176400	129600	74160	114480	100940	42436	65508	155820	101124	240100
9	900	960	402	122	864000	921600	385920	117120	361800	161604	49044	109800	14884	810000
10	1180	920	495	158	1085600	846400	455400	145360	584100	245025	78210	186440	24964	1392400
11	740	340	201	473	251600	115600	68340	160820	148740	40401	95073	350020	223729	547600
12	1020	1300	530	105	1326000	1690000	689000	136500	540600	280900	55650	107100	11025	1040400
13	480	1550	355	290	744000	2402500	550250	449500	170400	126025	102950	139200	84100	230400
14	250	430	140	236	107500	184900	60200	101480	35000	19600	33040	59000	55696	62500
15	480	1840	198	666	883200	3385600	364320	1225440	95040	39204	131868	319680	443556	230400
16	1030	1360	335	277	1400800	1849600	455600	376720	345050	112225	92795	285310	76729	1060900
Сумма	11940	13710	5197	4289	11393700	15516500	4764970	3981790	4381440	1925815	1266204	3028510	1442399	11151000
В среднем	746,25	856,875	324,8125	268,0625	712106,25	969781,25	297810,6	248861,9	273840	120363,4	79137,75	189281,9	90149,94	696937,5

2. На основании вышерассчитанных линейных коэффициентов корреляции определим показатель с наименьшей степенью влияния, которым является размер прибыли, так как его линейный коэффициент корреляции ( ) находится ближе всех к -1, что означает обратную зависимость между размером прибыли и стоимостью имущества. Таким образом, проведем прогноз результативного показателя по предприятию №11 в силу увеличения на 7,8% прибыли:

Стоимость имущества до увеличения равняется:

а после увеличения:

Вывод: при увеличении прибыли на 7,8% последует увеличение стоимости имущества с 444,179614 тыс.руб. до 448,046474 тыс.руб.

3. Для того чтобы установить зависимость между размером прибыли и прочими показателями воспользуемся коэффициентами Спирмена, Фехнера, Конкордации и Кендалла.

Таблица 2

Расчетная таблица для определения коэффициента

корреляции рангов Спирмена между размером прибыли и валовой продукцией.

Номер п/п	Валовая продукция х1	Прибыль, тыс. руб. y	Ранги			Разность рангов
1	360	269	13	8	5		25
2	480	130	11	14	-3		9
3	980	219	6	11	-5		25
4	230	196	15	12	3		9
5	1330	304	4	4	0		0
6	490	273	10	7	3		9
7	780	253	9	9	0		0
8	360	318	13	3	10		100
9	960	122	7	15	-8		64
10	920	158	8	13	-5		25
11	340	473	14	2	12		144
12	1300	105	5	16	-11		121
13	1550	290	2	5	-3		9
14	430	236	12	10	2		4
15	1840	666	1	1	0		0
16	1360	277	3	6	-3		9
					Сумма		553

где – валовая продукция;

у – размер прибыли;

– квадраты разности рангов;

n – число наблюдений.

Ранговый коэффициент корреляции Кендалла:

;

где S – сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по

второму признаку;

n – число наблюдений.

Таблица 3

Расчет рангового коэффициента корреляции Кендалла

Среднесписочное число работающих x2	Прибыль, тыс. руб. y					pi	si
445	269	13	8	1	2	14	1
219	130	5	14	2	3	13	1
519	219	15	11	3	4	12	1
232	196	6	12	4	9	7	5
338	304	9	4	5	11	5	6
238	273	7	7	6	8	6	4
344	253	10	9	7	7	6	3
206	318	4	3	8	13	3	5
402	122	12	15	9	10	4	3
495	158	14	13	10	1	6	0
201	473	3	2	11	15	1	4
530	105	16	16	12	6	3	1
355	290	11	5	13	14	1	2
140	236	1	10	14	5	2	0
198	666	2	1	15	12	1	0
335	277	8	6	16	16	-	-

Р=14+13+12+7+5+6+6+3+4+6+1+3+1+2+1=84;

Q=(-1)+(-1)+(-1)+(-5)+(-6)+(-4)+(-3)+(-5)+(-3)+0+(-4)+(-1)+(-2)+0+0=-36.

Коэффициент Фехнера определяется по формуле:

где С – число совпадений знаков отклонений;

Н – число несовпадений знаков отклонений.

Таблица 4

Расчетные данные для определения коэффициента Фехнера

Номер п/п	Прибыль, тыс. руб. y	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн.руб. x3	Знаки отклонений
1	269	390	+	-
2	130	470	-	-
3	219	1590	-	+
4	196	240	-	-
5	304	1240	+	+
6	273	680	+	-
7	253	760	-	+
8	318	490	+	-
9	122	900	-	+
10	158	1180	-	+
11	473	740	+	-
12	105	1020	-	+
13	290	480	+	-
14	236	250	-	-
15	666	480	+	-
16	277	1030	+	+
Итого	4289	11940
Средняя	268,0625	746,25

Коэффициент конкордации вычисляется по формуле:

где m –количество факторов;

n – число наблюдений;

S – отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов.

Таблица 5

Расчет коэффициента конкордации

Номер п/п	Валовая продукция х1	Прибыль, тыс. руб. y	Ранги		Сумма строк (рангов)	Квадраты сумм
1	360	269	13	8	21	441
2	480	130	11	14	25	625
3	980	219	6	11	17	289
4	230	196	15	12	27	729
5	1330	304	4	4	8	64
6	490	273	10	7	17	289
7	780	253	9	9	18	324
8	360	318	13	3	16	256
9	960	122	7	15	22	484
10	920	158	8	13	21	441
11	340	473	14	2	16	256
12	1300	105	5	16	21	441
13	1550	290	2	5	7	49
14	430	236	12	10	22	484
15	1840	666	1	1	2	4
16	1360	277	3	6	9	81
Сумма	-	-	-	-	269	5257

Вывод: вышерассчитанные коэффициенты показали, что по коэффициенту Спирмена связь между размером прибыли и количеством валовой продукции слабая и прямая, в то же время по коэффициенту конкордации связь между ними заметная и прямая. Значение коэффициента Фехнера свидетельствует о том, что можно предполагать наличие слабой обратной связи между размером прибыли и стоимостью имущества. И коэффициент корреляции Кендалла свидетельствует о наличии слабой прямой связи между размером прибыли и среднесписочным числом рабочих.

4. В выборку попало 16 предприятий города, что составляет 8% от всей численности организаций, находящихся в городе.

n=16 пред.

% _выб.=8%

где: N - генеральная (общая) совокупность;

n - численность выборки.

Интервальная группировка

где i – шаг, величина интервала;

x_max – максимальное значение группировочного признака;

x_min – минимальное значение группировочного признака;

n – количество групп.

Построим 5 групп с равноотстоящими интервалами:

I (x_min) – (x_min+i)

240 – 510

II (x_min+i+1) – (x_min+2i)

511 – 780

III (x_min+2i+1) – (x_min+3i)

781 – 1050

IV (x_min+3i+1) – (x_min+4i)

1051 – 1320

V (x_min+4i+1) – (x_min+5i)

1321 – 1590

Таблица 6

Аналитическая группировка

Группы предприятий по стоимости ОПФ	Порядковый номер предприятия	Q			Пр
I 240 - 510	1	360	445	390	269
	2	480	219	470	130
	4	230	232	240	196
	8	360	206	490	318
	13	1550	355	480	290
	14	430	140	250	236
	15	1840	198	480	666
Итого по I группе	7	5250	1795	2800	2105
II 511 - 780	6	490	238	680	273
	7	780	344	760	253
	11	340	201	740	473
Итого по II группе	3	1610	783	2180	999
III 781 - 1050	9	960	402	900	122
	12	1300	530	1020	105
	16	1360	335	1030	277
Итого по III группе	3	3620	1267	2950	504
IV 1051 - 1320	5	1330	338	1240	304
	10	920	495	1180	158
Итого по IV группе	2	2250	833	2420	462
V 1321 - 1590	3	980	519	1590	219
Итого по V группе	1	980	519	1590	219
Всего:	16	13710	5197	11940	4289

Таблица 7

Расчетная таблица

Группы пред-ий по стоимости ОПФ	Q, млн. руб.			, чел.				, млн. руб.				Пр, млн. руб.
	всего	в среднем на 1 пред-ие	Уд. вес, %	всего	в среднем на 1 пред-ие	Уд. вес, %	всего		в среднем на 1 пред-ие	Уд. вес, %	всего		в среднем на 1 пред-ие	Уд. вес, %
I (7)	5250	750	38,29	1795	256	34,54	2800		400	23,45	2105		300,71	49,08
II (3)	1610	536,67	11,74	783	261	15,07	2180		726,67	18,26	999		333	23,29
III (3)	3620	1206,67	26,4	1267	422	24,38	2950		983,33	24,71	504		168	11,75
IV (2)	2250	1125	16,41	833	417	16,03	2420		1210	20,27	462		231	10,77
V (1)	980	980	7,15	519	519	9,99	1590		1590	13,32	219		219	5,11
Итого:	13710	856,88	100	5197	325	100	11940		746,25	100	4289		268,06	100

Средние величины:

- арифметическая простая,

где x_i – варианта осредняемого признака;

n – количество наблюдений.

Доля, удельный вес или структура:

Вывод: первая группа предприятий, состоящая из 7, лидирует по объему производства 5250 млн. руб., количеству человек 1795 и полученной прибыли в размере 2105 млн. руб., что составляет 49,08% от всей прибыли по пяти группам и является выгодным как для города, так и владельца предприятия. Но если рассматривать предприятия по отдельности, то большую пользу городу приносят крупные предприятия из группы 3 и 5, так как они обеспечивают повышение уровня занятости населения за счет рабочих мест соответственно 422 и 519 чел. Если же рассуждать с точки зрения предприятия, то более выгодными остаются малые предприятия из групп 1 и 2, так как главными для владельца предприятия остаются высокие показатели прибыли и объема производства.

5. С помощью эмпирического корреляционного отношения оценим зависимость между количеством предприятий в группе и размером имущества.

Таблица 8

Вспомогательная таблица

Группы предприятий по стоимости ОПФ	Порядковый номер предприятия
I 240 - 510	1	390	700
	2	470	34300
	4	240	179200
	8	490	56700
	13	480	44800
	14	250	157500
	15	480	44800
Итого по I группе	7	2800	518000
II 511 - 780	6	680	6533,333
	7	760	3333,333
	11	740	533,333
Итого по II группе	3	2180	10400
III 781 - 1050	9	900	20833,333
	12	1020	4033,333
	16	1030	6533,333
Итого по III группе	3	2950	31400
IV 1051 - 1320	5	1240	1800
	10	1180	1800
Итого по IV группе	2	2420	3600
V 1321 - 1590	3	1590	0
Итого по V группе	1	1590	0
Всего:	16	11940	563400

Для этого нужно найти:

– Средние значения стоимости имущества предприятия по каждой из 5 групп

– Групповую дисперсию

–Среднюю из групповых дисперсий

–Межгрупповую дисперсию

–Общую дисперсию (по правилу сложения)

–Эмпирическое корреляционное отношение

Вывод: так как , то связь между количеством предприятий в группе и размером имущества тесная, и чем крупнее предприятие и выше его стоимость ОПФ, тем меньше предприятий в городе.

6. В результате анализа методом аналитической группировки и регрессионно-корреляционным методом получили следующие значения оценки зависимости между показателями:

В итоге можно сказать, что эмпирическое корреляционное отношение показало большую зависимость стоимости имущества от других факторов, чем множественный коэффициент корреляции. Но более точно эту зависимость показывает именно множественный коэффициент корреляции, так как при его расчете исследуется каждое значение выборки, а эмпирическое корреляционное отношение в своем расчете использует средние значения по группам выборки. Таким образом, связь между стоимостью имущества и другими факторами сильная, близка к умеренной.

7. Установим доверительный интервал среднего уровня стоимости имущества для всех предприятий региона с вероятностью 68,3%, предварительно рассчитав среднюю ошибку бесповторной выборки:

где - средняя из групповых дисперсий (была рассчитана ранее).;

и предельную ошибку выборки с вероятностью 68,3% ( t=1) составит:

Тогда можно утверждать, что при заданной вероятности генеральная средняя будет находиться в следующих границах:

Вывод: на основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 68,3% можно заключить, что средняя стоимость имущества предприятий лежит в пределах от 701,2531 до 791,2469 млн.руб.

Задача 2.

Распределение результатов хронометража деятельности операций при обработке деталей одним рабочим характеризуется следующими данными:

Длительность операции, сек.	47- 49	49- 51	51- 53	53- 55	55- 57	57- 59	59- 61	61- 63	63- 65	65- 67
Число операций	6	13	15	20	15	11	8	5	4	2

Определите:

1) среднюю длительность операции;

2) размах вариации;

3) среднее линейное отклонение;

4) среднее квадратическое отклонение;

5) коэффициент вариации;

6) моду и медиану;

7) асимметрию и эксцесс распределения.

Построить полигон и гистограмму распределения.

Решение:

Длительность операции, сек.	Число операций	Середина интервала,
47-49	6	48	288	42,55	301,69	-2139,23	15169,07
49-51	13	50	650	66,18	336,93	-1715,26	8732,22
51-53	15	52	780	46,36	143,31	-442,95	1369,10
53-55	20	54	1080	21,82	23,8	-25,97	28,33
55-57	15	56	840	13,64	12,4	11,27	10,25
57-59	11	58	638	32	93,09	270,81	787,81
59-61	8	60	480	39,27	192,79	946,44	4646,16
61-63	5	62	310	34,55	238,68	1649,05	11393,41
63-65	4	64	256	35,64	317,49	2828,53	25199,59
65-67	2	66	132	21,82	238,02	2596,54	28325,93
Итого:	99	570	5454	353,82	1898,18	3979,24	95661,87

1. Для определения средней длительности операции используем арифметическую взвешенную, так как присутствуют сведения и по длительности операций и по их числу:

2. Размах вариации определим по формуле как разницу между максимальным и минимальным значением признака (длительность операции):

3. Вычислим среднее линейное отклонение по принципу взвешенной средней:

4. Среднее квадратическое отклонение

5. Коэффициент вариации:

6. Мода и медиана:

,

где - нижняя граница длительности операции в модальном интервале;

i – шаг интервала, величина интервала;

, , - количество наблюдений соответственно в модальном, в предшествующем модальному и последующем за модальным интервалах.

,

где - нижняя граница длительности операции в медианном интервале;

- общее количество наблюдений;

- сумма накопленных частот до медианного интервала;

- количество наблюдений в медианном интервале.

7. Асимметрия и эксцесс распределения:

,

где - асимметрия;

- центральный момент 3-го порядка;

- среднее квадратическое отклонение.

;

;

,

где - эксцесс;

- центральный момент 4-го порядка;

- среднее квадратическое отклонение.

;

Гистограмма и полигон распределения:

Вывод: обследование 99 операций показало, что средняя длительность операции составила 55,09 сек. Чаще всего встречающаяся длительность операции 54 сек. Среднее отклонение вариантов длительности операций от их средней величины составляет 3,57 сек.

Расчет асимметрии показал, что для ряда распределения характерна положительная асимметрия, т.е. в ряду распределения преобладают варианты, которые больше, чем средняя.

Отрицательный эксцесс свидетельствует о высоком разбросе длительности операций, что также подтверждает размах вариации равный 20 сек.