2.3.2 Методы построения фазовых портретов

Фазовый портрет даёт полное представление о динамике САУ второго порядка при детерминированных воздействиях, включая точность, устойчивость и качество процессов. Фазовая плоскость является основным методом исследования нелинейных САУ второго порядка. Это связано с тем, что построение фазового портрета выполняют по дифференциальному уравнению САУ, не решая его самого. В общем виде ММ САУ второго порядка имеет вид Используя подстановку , уравнение второго порядка преобразуют к форме Коши

Разделив первое уравнение на второе, получают уравнение фазовых траекторий в виде нелинейного дифференциального уравнения первого порядка

(2.1)

Т.о., путем исключения времени упрощают задачу, понижая порядок уравнения. Однако построение траекторий в общем случае не требует решения и этого уравнения и может быть выполнено методом изоклин ( рис.5.13 ). Для этого в начале на фазовой плоскости строят линии по алгебраическому уравнению R(x,y)=C, где С – постоянная, для которой задаётся ряд произвольных значений от- до + . Каждому значению С соответствует своя линия. Эти линии называют изоклинами. Как следует из уравнения ( 5.1 ), для каждой изоклины , т.е. изоклина – это геометрическое место точек с одинаковым наклоном фазовых траекторий проходящих через эти точки. По изоклинам строят сами фазовые траектории.

2.3.3 Исследование нелинейных сау на фазовой плоскости

2.4 Устойчивость положений равновесия

2.4.1 Понятие устойчивости нелинейных систем

При исследовании линейных САУ всегда можно переходный процесс

представить в виде суммы переходной (или свободной) и вынужденной составляющих. Показателем устойчивости линейной САУ является стремление к нулю (затухание) переходной составляющей при .

Решение вопроса об устойчивости нелинейной САУ оказывается значительно сложнее, т.к. в связи с неприменимостью принципа наложения (суперпозиции) невозможно выделить в процессе переходную и вынужденную составляющие. Возможность автоколебаний в нелинейных САУ ещё больше усложняет вопрос.

Для нелинейных САУ введены понятия устойчивости в зависимости от областей возможных отклонений от состояния равновесия и наличия внешних воздействий.

В зависимости от наличия внешних воздействий на САУ все системы управления могут быть разделены на автономные и неавтономные. К последним приложены зависящие от времени воздействия. В отсутствие внешних воздействий САУ считают автономной. Понятие устойчивости автономной системы управления включает: устойчивость равновесия и устойчивость автоколебаний. Понятие устойчивости неавтономной САУ включает в себе устойчивость процесса (движения), обусловленного внешним воздействием.

По аналогии с теорией линейных САУ введены понятия невозмущённого и возмущённого движения системы. Первое из этих понятий соответствует некоторому частному решению, а второе совокупности иных возможных (общих) решений. Под невозмущённым движением САУ понимают одно из возможных расчётных движений системы при некоторых определённых НУ и заданном внешнем воздействии. Всякое другое движение называют возмущённым. Состояние равновесия и установившийся режим автоколебаний рассматривают как частные случаи невозмущённых движений автономной САУ.

Уравнение динамики автономной САУ п-го порядка при отсутствии возмущающих воздействий записывают в форме Коши

, (2.1)

где i=1,2,…,n.

Кроме того, обозначает невозмущённое , а - возмущённое движение САУ. Отклонения (вариации) возмущённого движения от невозмущенного

(2.2)

являются функциями времени и играют существенную роль в исследовании устойчивости. Если

, (2.3)

то невозмущённое движение называют асимптотически устойчивым.

При исследовании устойчивости САУ часто дифференцальное уравнение (2.1) с учётом (2.2) записывают в форме уравнения возмущённого движения в отклонениях (вариациях)

(2.4)

Переменные (вариации) являются координатами состояния САУ. Если , движение является невозмущённым. Геометрически невозмущённое (установившееся) движение САУ п-го порядка можно представить условно в виде некоторой интегральной кривой в п-мерном пространстве с добавленной осью времени t (рис.2.1). Возмущённое движение , вызванное начальным отклонением при , изобразиться другой интегральной кривой (рис.2.1.) .

В отклонениях , т.е. в пространстве координат состояния системы, эта картина возмущённого движения показана на рис.2.2. Невозмущённое движение изображено прямой линией, совпадающей с осью времени t.

В зависимости от областей возможных начальных отклонений от состояния равновесия САУ в

Рисунок 2.1 теории устойчивости нелинейных систем управления введены понятия устойчивости в малом, в большом и в целом. Система устойчива в малом, если установлено существование области устойчивости, но не определены ее границы. САУ называют устойчивой в большом, когда определены границы области устойчивости, т.е. установлены границы области начальных

Рисунок 2.2 отклонений выходной величины , при которых система возвращается в исходное состояние. В том случае, когда САУ возвращается в исходный режим при любых начальных отклонениях, систему называют устойчивой в целом. Устойчивость в целом для определенного класса нелинейных статических характеристик называют абсолютной устойчивостью.