Аксиомы статики и их следствия.

Аксиома 1.

Тело под действием силы приобретает ускорение и не может находиться в покое. Первая аксиома ставит усло­вия, при выполнении которых система сил будет уравно­вешена.

Аксиома 1. Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, будут уравновешены (эквивалентны нулю) тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Это означает, что если абсолютно твердое тело находится в покое под действием двух сил, то эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Обратно, если на абсолютно твердое тело действуют по одной прямой в противоположные стороны две равные по модулю силы и тело в началь­ный момент находилось в покое, то состояние покоя тела сохранится.

На рис. 1.4 показаны уравновешенные силы F₁, F₂ и Р₁, Р₂, удовлетворяющие соотношениям:  (F₁,F₂)~0,  (P₁,Р₂)~0. При решении некоторых задач статики приходится рассматривать силы, приложенные к концам жестких  стержней,   весом которых можно пренебречь, причем известно, что стержни находятся в равно­весии. Из сформулированной аксиомы действующие на такой стержень силы направлены вдоль прямой, проходящей через концы стержня, противоположны по направле­нию и равны друг другу по модулю (рис. 1.5, а). То же самое и в случае, когда ось стержня криволи­нейная (рис.  1.5, б).

Аксиома 2.

Аксиома 2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, к нему можно прикладывать или отбрасывать силы тогда и только тогда, когда они составляют уравновешенную систему, в частности, если эта система состоит из двух сил, равных по модулю, дей­ствующих по одной прямой и направленных в противополож­ные стороны. Из этой аксиомы вытекает следствие: не нарушая состояния тела, точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия.Действительно, пусть сила F_А приложена к точке А (рис. 1.6, а). Приложим в точке В на линии действия силы F_A две уравновешен­ные силы F_B и F'_B, полагая, что F_B=F_A (рис. 1.6, б). Тогда со­гласно аксиоме 2 будем иметь F_A~F_A, F_B, F`<sub>B</sub>). Так как силы F<sub>А</sub> и F<sub>B</sub> обра зуют также уравновешенную систему сил (аксиома 1), то согласно аксиоме 2 их можно отбросить (рис. 1.6,в). Таким образом, F<sub>A</sub>~F<sub>A</sub>,F<sub>B</sub>,F`_B)~F_B, или F_A~F_B, что доказывает следствие. Это следствие показывает, что сила, приложенная к абсолютно твердому телу,  представляет собой скользящий вектор. Обе аксиомы и доказанное следствие нельзя применять к деформируемым телам, в частности, перенос точки приложения силы вдоль линии ее действия меняет напряженно-деформированное со­стояние тела.

Аксиома 3.

Аксиома 3. Не меняя cостояния тела, две силы, приложенные к одной его точке, можно за­менить одной равнодействующей силой, приложен­ной в той же точке и равной их геометрической сумме (аксиома параллелограмма сил). Эта аксиома устанавливает два обстоятельства: 1) две силы F₁ и F₂ (рис. 1.7), приложенные к одной точке, имеют равнодействующую, т. е.  эквивалентны одной  силе (F₁,F₂)~R; 2) аксиома полностью определяет модуль, точку приложения и направление равнодействующей силы R=F₁+F₂.(1.5) Другими словами, равнодействующую R можно построить как диа­гональ параллелограмма со сторонами, сов­падающими с F₁ и F₂. Модуль равнодействующей определится равенством R=(F₁²+F₂²+2F_lF₂cosa)^1/2, где а—угол между данными векторами F₁ и F₂. Третья аксиома применима к любым телам. Вторая и третья аксиомы статики дают возможность переходить от одной системы сил к другой системе, ей эквивалентной. В частно­сти, они позволяют разложить любую силу R на две, три и т. д. составляющие, т. е. перейти к другой системе сил, для которой сила R является равнодействующей. Задавая, например, два на­правления, которые лежат с R в одной плоскости, можно построить параллелограмм, у которого диагональ изображает силу R. Тогда силы, направленные по сторонам параллелограмма, составят систему, для которой сила R будет равнодействующей (рис. 1.7). Аналогичное построение можно провести и в пространстве. Для этого достаточно из точки приложения силы R провести три прямые, не лежащие в одной плоскости, и построить на них параллелепипед с диагональю, изображающей силу R, и с ребрами, направленными по этим прямым (рис. 1.8).

Аксиома 4.

Аксиома 4 (3-й закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противополож­ные стороны. Заметим, что силы взаимодействия двух тел не составляют систе­му уравновешенных сил, так как они приложены к разным телам. Если тело I действует на тело II с силой Р, а тело II действует на тело I с силой F (рис. 1.9), то эти силы равны по модулю (F = Р) и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т. е. F= –Р. Если обозначить че­рез F силу, с которой Солн­це притягивает Землю, то Земля притягивает Солнце с такой же по модулю, но противоположно направленной силой – F. При движении тела по плоскости к нему будет приложена сила трения Т, направленная в сторону, противоположную движению. Это– сила, с которой неподвижная плоскость действует на тело. На основании четвертой аксиомы тело действует на плоскость с та­кой же силой, но ее направление бу­дет противоположно силе Т.

На рис. 1.10 показано тело, движущееся вправо; сила трения Т приложена к движуще­муся телу, а сила Т'= –Т — к плос­кости. Рассмотрим еще покоящуюся систему, изображенную на рис. 1.11, а. Она состоит из двигателя А, установленного на фун­даменте В, который в свою очередь находится на основании С. На двигатель и фундамент действуют силы тяжести F₁ и F₂ соответ­ственно. Также действуют силы: F₃– сила действия тела А на тело В (она равна весу тела А); F`з – сила обратного действия тела В на тело А; F<sub>4</sub> – сила действия тел А и В на основание С (она равна сум­марному весу тел А и В); F`₄– сила обратного действия основания С на тело В. Эти силы показаны на рис. 1.11, б, в, г.Согласно аксиоме 4 F₃=–F`<sub>3</sub>, F<sub>4</sub>=–F`₄, причем эти силы взаимодействия определяются заданными силами F₁ и F₂. Для нахождения сил взаимодействия необходимо исходить из аксиомы 1. Вследствие покоя тела А (рис. 1.11,6) должно быть F з=–F₁, а значит, F₃=F₁. Точно так же из условия равновесия тела В (рис. 1.11, в) следует F`<sub>4</sub>=–(F<sub>2</sub>+F<sub>3</sub>), т. е. F`₄=–(F₁+F₂) и F₄=F₁+F₂.