Множення імовірностей
Формулювання |
Аналітичний запис |
Імовірність сумісної появи двох випадкових подій А та В дорівнює добутку імовірностей однієї з цих подій та умовної імовірності другої події при умові, що перша полія з’явилася |
Р (А·В) = Р(А) · РА(В) =Р(В)·РВ(А) |
Імовірність сумісної появи двох незалежних випадкових подій А та В дорівнює добутку імовірностей цих подій. |
Р(А·В) = Р(А) · Р(В) |
У випадку скінченої кількості незалежних випадкових подій |
Р(А1·А2·…·Аn)=Р(А1)·Р(А2)·…·Р(Аn) |
Теорема 4. Імовірність появи хоча б однієї із подій А1, А2,...Аn, незалежних в сукупності , дорівнює різниці між одиницею і добутком імовірностей протилежних подій Ā1, Ā2, … , Ān:
Р (А) = 1 – Р(Ā1) Р(Ā2) · … · Р(Ān).
Імовірність появи хоча б однієї випадкової події
5. Теорема додавання імовірностей сумісних подій.
Формулювання |
Аналітичний запис |
Якщо випадкові події А та В сумісні, то імовірність їх об’єднання дорівнює сумі їх імовірностей без імовірності їх сумісної появи. |
Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В) |
Якщо події А та В незалежні Якщо події А та В залежні |
Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) · Р(В) Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) · РА(В) |
6.Формули повної імовірності та Баєса
Формулювання |
Формула |
Формула повної імовірності. Якщо випадково подія А може настати лише сумісно з однією із несумісних між собою подій В1, В2, …, Вn, що утворюють повну групу, тоді імовірність події а обчислюється за формулою: |
Р(А)= |
Формула Байєса Вона використовується, коли подія F, яка може настати тільки з однією із гіпотез А1, А2, … , Аn, що утворюють повну групу подій, відбулась і необхідно зробити кількісну переоцінку апріорних імовірностей цих гіпотез Р(А1), Р(А2), … , Р(Аn), відомих до випробування, тобто потрібно знайти апостеріорні (після досліду) умовні імовірності гіпотез РF(А1), РF(А2), … , РF(Аn) |
Pf
(Ai)
=
|
7. Надійність системи
С
|
Означення. Надійністю системи називають імовірність її безвідмовної роботи в певний час t.
41. Основні поняття теорії статистики
Математична статистика – розділ математики, в якому за допомогою математичних методів систематизується, опрацьовується і використовується результати досліджень для наукових і практичних висновків.
Статистичні дослідження проводяться статистичними методами.
Складові статистичного методу:
· Масове спостереження;
· Статистичне зведення одержаних результатів;
· Групування статистичних даних;
· Обчислення середніх величин та індексів;
· Побудова графіків.
Генеральна сукупність - множина однорідних елементів, з якої за певним правилом виділяють підмножину, яку називають вибіркою.
Приклад. При проведенні контролю якості виробів генеральна сукупність – множина всіх виробів, що підлягають перевірці на відповідність стандартам.
Завдання математичної статистики – розробка теорії статистичного виведення як системи методів розв’язування задач, за допомогою яких з оброблених даних вибірки генеральної сукупності роблять висновки про властивості всієї генеральної сукупності.
Різниця між показниками генеральної сукупності і вибіркої генеральної сукупності називається похибкою вибірки або похибкою репрезентативності, і завдання математичної статистики – наблизити цю похибку до мінімуму. Сприяє цьому і правильно сплановане статистичне дослідження.
План проведення статистичного дослідження
|
1. Формулювання мети і задач дослідження, визначення об’єму вибірки, місця і часу проведення спостереження.
2. Збір необхідних даних за допомогою статистичного спостереження.
Обробка зібраних даних, графічне їх подання.
Види статистичних спостережень |
|
За часом |
· Поточне – систематичне вивчення змін, які відбуваються в певній сукупності. · Періодичне - вивчення змін, які відбуваються в певній сукупності через певний інтервал часу. · Одиничне - вивчення змін, які не відбуваються в певній сукупності в разі потреби. |
За ступенем повноти охоплення одиниць |
· Суцільне - вивчення всіх одиниць сукупності; · Не суцільне – вибіркове вивчення частини одиниць сукупності. |
За способом організації |
· Звітне - вивчення змін на основі статистичних даних за різними звітностями. · Експедиційне - безпосереднє спостереження призначеними особами змін у сукупності. · Самообчислення - вивчення змін за допомогою заповнення статистичних форм одиницями сукупності. |