12) Понятие о вариации признака. Показатели вариации и способы их расчета.
Вариация – это изменение значения признака у отдельных единиц совокупности.
Вариация обусловлена действием различных факторов на развитие отдельных единиц совокупности. Чем более разнообразно условие, тем больше его вариация.
I) Абсолютные показатели вариации
Размах вариации – это разность между наибольшим и наименьшим значением признака в изучаемой совокупности: R=xmax – xmin
где xmax – наибольшее значение признака;
xmin – наименьшее значение признака.
Для измерения отклонения каждой варианты от средней величины в ряду распределения или в группировке применяется среднее линейное отклонение:
а) для несгруппированных данных (ранжировочного ряда)
простое
б) для вариационного интервального ряда
взвешенное
Среднее линейное отклонение показывает, на сколько в среднем каждое значение признака отклоняется от средней величины
Дисперсия:
а) для ранжировоного ряда (несгруппировонных данных):
простая
б) для интервального ряда:
взвешенная
Корень квадратный из дисперсии представляет среднее квадратическое отклонение.
Среднее квадратическое отклонение дает обобщенную характеристику признака совокупности и показывает во сколько раз в среднем колеблется величина признака совокупности.
II) Относительные показатели вариации
Коэффициент
вариации –
это отношение среднеквадратического
отклонения к среднеарифметическому,
рассчитывается в процентах:
Коэффициент осцилляции – это отношение размаха вариации к средней, в процентах. Отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.
Линейный
коэффициент вариации
характеризует долю усредненного значения
абсолютного отклонения от средней
величины.
13) Математические свойства дисперсии и их использование.
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:
D(C)=0
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
D(CX)=C²D(X)
Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…D(Xn)
Перечисленные свойства дисперсии используются при вычислениях, когда мы имеем дело с несколькими случайными величинами. Из свойств 1 и 3 следует важный вывод: D(X + C) = D(X), где С — постоянная величина.
Дисперсия характеризует разброс случайной величины вокруг ее математического ожидания.
Корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением. Оно используется для оценки масштаба возможного отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
14) Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию.
простая
взвешенная
Внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки.
Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, которая обусловлена влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки.
Правило сложения дисперсии.
Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:
Смысл этого правила заключается в том, что общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равняется сумме дисперсий, которые возникают под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет фактора группировки.