Факторные нагрузки

Исходные переменные	Факторные нагрузки			h2 (общность)
	F1	F2
1	а11	а21	h21
2	а12	а22	h22
3	а13	а23	h23
4	а14	а24	h24
5	а15	а25	h25
Собственное значение	…	…	…
Доля дисперсии	…	…	…

Основное содержание табл. 41 — величины а₁₁ ... а₂₅ — факторные нагруз­ки переменных 1 ... 5 (строки) по факторам 1 и 2 (столбцы). Факторные на­грузки — аналоги коэффициентов корреляции, показывают степень взаимо­связи соответствующих переменных и факторов: чем больше абсолютная величина факторной нагрузки, тем сильнее связь переменной с фактором, тем больше данная переменная обусловлена действием соответствующего фактора.

Фактор – это искусственный статистический показатель, который получается в результате преобразований корреляционной матрицы.

Процедура извлечения факторов называется факторизацией.

Факторные нагрузки (факторные веса) – коэффициенты корреляции каждого фактора с каждой переменной.

Каждый фактор идентифицируется по тем признакам, с которыми он в наибольшей степени связан (наибольшие нагрузки). Идентификация фактора заключается, как правило, в присвоении ему имени обобщающего по смыслу наименования входящих в него переменных.

Общность переменной – это сумма квадратов факторных нагрузок. Она показывает часть дисперсии признака, которая является общей для двух (в данном случае) переменных.

Переменные с большей общностью имеют значительно большую долю дисперсии с одним или несколькими факторами.

Низкая общность означает, что ни один из факторов не имеет совпадающей доли дисперсии с данной переменной. Низкая общность может свидетельствовать о том, например, что переменная измеряет нечто качественно отличающееся от других признаков, включённых в анализ.

Собственные значения фактора – это значимость каждого из факторов.

В нижней строчке приводится доля дисперсии фактора – часть дисперсии в выборке, которая объясняется данным фактором.

Факторный анализ бывает двух видов:

1. Эксплораторный-разведочный.

Используется для анализа результатов исследования для того, чтобы сформулировать рабочие гипотезы о причинах обнаруженных связей. Выполняется на ориентировочной стадии работы.

2. Конфирматорный.

Применяется на более поздних стадиях исследования для проверки гипотез. Когда в рамках какой-либо теории или модели сформулированы чёткие гипотезы, факторы между переменными и факторами достаточно определены, и исследователь может их прямо указать. В этом случае факторный анализ является средством проверки соответствия сформулированной гипотезы полученным эмпирическим данным.

Факторный анализ может выполняться различными методами (о различии методов см. учебник Наследова).

Анализ главных компонент. При использова­нии этого метода общность каждой переменной получается автоматически, путем суммирования квадратов ее нагрузок по всем главным компонентам. Вопрос о приближении восстановленных коэффициентов корреляции к ис­ходным корреляциям не решается. В результате факторная структура иска­жается в сторону преувеличения абсолютных величин факторных нагрузок.

Факторный анализ образов — это метод главных компонент, применяемый к так называемой реду­цированной корреляционной матрице, у которой вместо единиц на главной диагонали располагаются оценки общностей. Общность каждой переменной оценивается предварительно, как квадрат коэффициента множественной корреляции (КМК) этой переменной со всеми остальными. Такая оценка, с точки зрения теоретиков факторного анализа, приводит к более точным ре­зультатам, чем в анализе главных компонент. Но значения общностей недо­оцениваются, что также приводит к искажениям факторной структуры, хотя и меньшим, чем в предыдущем случае.

Метод главных осей позволяет получить более точ­ное решение. На первом шаге общности вычисляются по методу главных ком­понент. На каждом последующем шаге собственные значения и факторные нагрузки вычисляются исходя из предыдущих значений общностей. Оконча­тельное решение получается при выполнении заданного числа итераций или достижении минимальных различий между общностями на данном и преды­дущем шагах.

Метод не взвешенных наименьших квадратов — минимизирует квадраты остатков (разностей) исходной и воспроизведенной корреляционных матриц (вне главной диагонали). Процесс повторяется многократно до тех пор, пока не достигается минимально воз­можная разница между исходными и вычисленными корреляциями при за­данном числе факторов. Метод, по определению, дает минимальные ошибки факторной структуры при фиксированном числе факторов. Реализация ме­тода в компьютерных программах позволяет проверить расхождения между исходными и вычисленными корреляциями. Наличие многочисленных рас­хождений может служить дополнительным аргументом в пользу увеличения числа факторов.

Обобщенный метод наименьших квадратов — отли­чается от предыдущего тем, что для каждой переменной вводятся специаль­ные весовые коэффициенты. Чем больше общность переменной, тем в боль­шей степени она влияет на факторную структуру (имеет больший вес). Это соответствует основному принципу статистического оценивания, по которо­му менее точные наблюдения учитываются в меньшей степени. В этом — ос­новное преимущество этого метода перед остальными.

Метод максимального правдоподобия также направлен на уменьшение разности исходных и вычисленных корреляций между при­знаками. Дополнительно этот метод позволяет получить важный показатель полноты факторизации — статистическую оценку «качества подгонки». Однако следует помнить, что этот критерий, как и остальные формальные критерии, являет­ся дополнительным. Окончательное же решение о числе факторов принима­ется после содержательной интерпретации факторной структуры.

Вряд ли возможно дать общие рекомендации о преимуществе или недо­статке того или иного метода. Можно лишь отметить, что анализ главных ком­понент дает наиболее грубое решение, а метод максимального правдоподо­бия позволяет статистически оценить минимально возможное число факторов для данного набора переменных. По-видимому, в каждом конкретном случае стоит сравнивать результаты применения разных методов и выбирать тот, ко­торый позволяет получить наиболее простую и доступную интерпретации факторную структуру.

Основные этапы факторного анализа: