2. Программа работы

1. Исследовать спектр колебания прямоугольной формы с частотой F=5 кГц и 10 кГц, со скважностью q=2.

2. Исследовать спектр последовательности импульсов прямоугольной формы с частотой F=10 кГц и со скважностью q=5.

3. Исследовать спектр напряжения треугольной формы с частотой F= 10 кГц.

4. Получить спектр периодической последовательности импульсов косинусоидальной формы с частотой F=10 кГц и с углами отсечки =90, =60.

Для получения импульсов косинусоидальной формы подайте напряжение гармонической формы с генератора на цепь, приведенную на рис. 7. Угол отсечки можно изменять с помощью регулировки «offset» – смещение на передней панели генератора. Полученные спектры построить в логарифмическом и линейном масштабах.

Рис.7. Схема для исследования спектра косинусоидального импульса

Контрольные вопросы

1. Приведите примеры несинусоидального периодического тока (напряжения).

2. Почему нельзя непосредственно применить символический метод для расчета электрических цепей при воздействии несинусоидальных токов или напряжений?

3. Поясните идею разложения несинусоидальных периодических функций в ряд Фурье.

4. Как вычисляются коэффициенты ряда Фурье?

5. Что такое амплитудный спектр периодического тока или напряжения?

6. Изобразите спектры периодических токов а) прямоугольной формы, б) периодической последовательности косинусоидальных импульсов.

7. Чем определяется расстояние между соседними составляющими спектров периодических токов?

8. Какая существует связь между длительностью импульсов и шириной их спектра?

9. Как можно использовать спектральное расположение периодических токов и напряжений для расчета электрических цепей?

Лабораторная работа № 4 Исследование характеристик линейных четырехполюсников

1. Общие сведения

Э лектрические цепи, имеющие два входных зажима 1-1 и два выходных зажима 2-2, называются четырехполюсниками (рис.1).Эти устройства служат для передачи электрической энергии или сигналов. Четырехполюсники могут быть пассивными и активными, линейными и нелинейными. Будем рассматривать линейные, пассивные четырехполюсники, не содержащие внутри источников энергии. Примерами пассивных четырехполюсников являются трансформаторы и электрические фильтры.

П

Рис. 1. Обозначение четырехполюсника

ри установившихся синусоидальных процессах четырехполюсник можно описать системой двух уравнений, связывающих между собой входные , и выходные , величины. Если в качестве независимых переменных принять токи и , уравнения будут иметь вид:

,

где , , , – параметры четырехполюсника, имеющие размерность сопротивлений. Они могут быть определены их опытов холостого хода и короткого замыкания. Для пассивных четырехполюсников =- , и их эквивалентная схема состоит из трех элементов (рис.2). Важной характеристикой линейных четырехполюсников является передаточная функция K(j), с помощью которой находятся входные токи или напряжения , возникающие при воздействии входных токов или напряжений . Чаще всего передаточную функцию определяют как отношение выходного напряжения к входному:

Рис. 2. Т–образная эквивалентная схема пассивного четырехполюсника.

.

М одуль передаточной функции K(j) = K() называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент argK(j)=() – фазочастотной характеристикой (ФЧХ). АЧХ и ФЧХ характеризуют свойства линейных четырехполюсников в частотной области при действии на входе гармонической э.д.с. Те же свойства линейных четырехполюсников во временной области описываются переходный характеристикой g(t), под которой понимают изменение во времени выходного напряжения U₂(t) при воздействии на входе скачкообразного напряжения U₁=U₀1(t), где 1(t) – единичная функция. Возможный вид переходный характеристики показан на рис. 3. Связь между передаточной функцией K(jw) и переходный характеристикой g(t) устанавливается с помощью обратного преобразования Фурье

.

К

Рис. 3. Входное и выходное напряжение при измерении переходной характеристики четырехполюсника

линейным четырехполюсникам относятся фильтры. Самыми распространенными являются фильтры нижних частот (ФНЧ). Идеальный ФНЧ имеет АЧХ прямоугольной формы с частотой среза _ср и линейную в полосе 0–_ср фазочастотную характеристику (рис. 4).

Рис. 4. АЧХ и ФЧХ идеального фильтра нижних частот

Фильтр нижних частот без искажений пропускает гармонические составляющие с частотами от 0 до _ср и задерживает составляющие с частотами >_ср. Идеальный ФНЧ физически нереализуем. Передаточные функции физически реализуемых фильтров аппроксимируют полиномами различного вида и получают, соответственно различные типы фильтров: Баттерворта, Чебышева, Кауэра и др.

Переходная характеристика идеального ФНЧ (рис. 5) описывается выражением

,

где интеграл вида является табулированной функцией. Переходная характеристика нарастает от 0 до установившегося значения за время t_у, которое связано с частотой среза фильтра f_ср соотношением

t_у=1/2f_ср.

При расчете фильтров вводят нормированную комплексную переменную

.

Далее передаточную характеристику физически реализуемого ФНЧ представляют в виде

,

г

Рис. 5. Переходная характеристика идеального ФНЧ

де С₁, С₂, …, С_n – положительные действительные коэффициенты полинома n–й степени.

С

Рис. 6. АЧХ фильтров нижних частот: 1 – Баттерворта; 2 – Чебышева .

тепень полинома n определяет порядок фильтра. Амплитудно-частотные характеристики фильтров могут быть оптимизированы по различным критериям. Фильтры Баттерворта имеют монотонную, медленно спадающую АЧХ в полосе пропускания и быстро убывающую за частотой среза (кривая 1, рис.6). АЧХ фильтра Чебышева спадает за частотой среза при >_ср более круто, но в полосе пропускания имеет колебательный характер. При заданном порядке фильтра n более крутому спаду АЧХ за частотой среза соответствует большая амплитуда колебаний характеристики в полосе пропускания.

Рассмотрим порядок реализации фильтров Чебышева. АЧХ фильтров аппроксимируют полиномами Чебышева вида

Четыре первых полинома Чебышева приведены в таблице 1.

Таблица 1

n	Полином Чебышева
1	T1()=
2	T2()=22-1
3	T3()=43-3
4	T4()=84-82+1

В области значения 0 ≤  ≤ 1 функция T_n() совершает n/2 колебаний между уровнями 0 и 1, а при  > 1 – монотонно и неограниченно возрастает. Квадрат модуля передаточной функции с использованием полиномов Чебышева представляется в виде

,

где к=1 для нечетных n и к=1+² для четных n. Множитель  определяет неравномерность АЧХ фильтра в полосе прозрачности

.

Обычно рассматриваемый диапазон частот и значений коэффициента передачи фильтров составляет несколько порядков, поэтому АЧХ принято изображать в логарифмическом масштабе. Тогда коэффициент передачи измеряют в децибелах (дБ):

К(дБ)=20lg K.

Значения коэффициента передачи в разах и в децибелах (дБ) приведены в табл. 2. АЧХ фильтров Чебышева 3, 4 и 5-го порядков с неравномерностью в полосе прозрачности 3 дБ показаны на рис. 7.

Таблица 2

K	1	10	102	103	104	105
K, дБ	0	20	40	60	80	100

Способы реализации фильтров зависят от диапазона рабочих частот. На частотах 10⁵-10⁷ Гц фильтры реализуют на L, C элементах. При n>3 фильтры можно представить в виде каскадного соединения р яда простых четырехполюсников. Такие фильтры называются цепными (рис. 8). Звенья фильтра согласовывают так, чтобы выходное сопротивление предыдущего звена было равно входному сопротивлению следующего звена:

.

Величину Z_c называют характеристическим сопротивлением. Фильтр так же согласовывают с генератором входного сигнала и нагрузкой:

Z_c=R_г=R_н.

Согласование фильтра во всем диапазоне частот как правило не удаётся. Простейшими звеньями фильтров могут быть Т–образные и П–образные схемы, которые получаются из каскадного соединения двух Г–образных схем. Таким образом, конструирование многозвенных фильтров сводится к каскадному соединению Г–, П– и Т–образных L, C звеньев. Число реактивных элементов цепных фильтров нижних частот совпадает с порядком фильтра n. Схема L, C фильтра нижних частот 5-го порядка показана на рис. 9.

Д

Рис. 9. Схема фильтра нижних частот 5-го порядка

анные для расчетов фильтров различных типов и порядков проводятся в справочниках в виде таблиц нормированных значений элементов с_2n-1 и l_2n [4]. По заданной неравномерности АЧХ фильтра в полосе прозрачности и величине затухания в полосе задержания выбираются тип и порядок фильтра. Далее задается значение характеристического сопротивления R и по заданной частоте среза f_ср рассчитываются коэффициенты

.

Номиналы элементов фильтра рассчитываются по формулам

.

В настоящее время разработан ряд компьютерных программ, с помощью которых можно рассчитывать, моделировать, конструировать различные типы фильтров. Программа «MC–7» позволяет синтезировать фильтры Баттерворта и Чебышева. Описание программы и порядок работы с ней приведены в [7].