Екзаменаційні питання з вищої математики

1. Предмет вищої математики. Зв'язок математики з економікою.

Вища м-ка – навч.. предмет, що охоплює розділи лінійної та векторної алгебр.. аналітичної геометрії, диференціального численя, теорії диференційних р-нь та рядів.

Завдання курсу:

• Розвиток логічного мислення та памяті;

• Вивчення математичного апарату, необхідного для вивчення інших предметів економічного напрямку.

2. Матриці, їх види. Дії над матрицями.

Лінійна алгебра – розділ м-ки, основним об’єктом вивчення якого є СЛАР.

Матриця – набір елементів записаних у формі прямокутної таблиці.

Матриця розмірності mxn.

Матриці х-зують розмірністю: m – число рядків, n - к-сть стовпців.

Довільний елемент позначають А_ij , і – номер рядка, j - номер стовпця.

Види матриць – квадратна (m=n), матриця рядок (m=1), матриця стовпець(n=1).

В квадратних матрицях виділяють:

1. Діагональні – на головній діагоналі довільні числа, інші елементи – нулі.

2. Одинична – на головній діагоналі одиниці, інші – нулі.

3. Трикутна – під/над головною діагоналлю – нулі.

Над матрицями виконують дії:

1. Додавання – матриці повинні мати однакову розмірність, додають відповідні елементи.

2. Віднімання.

3. Множення на число – множать кожен елемент матриці.

4. Множення – число стовпців хоча б однієї матриці=числу рядків другої, елементи рядків першої матриці множать на відповідні елементи стовпців другої,отримані добутки додають.

5. Транспонування – Т, рядки міняють місцями із стовпцями.

3. Визначники та їх властивості. Обчислення визначників.

Визначником (або детермінантом) наз.. число, що х-зує квадратну матрицю. Позначають detA. Визначник х-зують порядком.

Визначник другого порядку:

Визначники третього порядку обчислюють за правилами:

1. Трикутника

2. Правило Саррюса

3. Теорема Лапласа: Визначник=сумі добутку елементів довільного рядка/стовпця на їх алгебраїчне доповнення.

Мінором M_ij визначника n-го порядку наз.. визначник n-1 порядку утв.. з початкового викреслюванням i-того рядка і j-того стовпця.

Алгебраїчним доповненням A_ij елемента a_ij наз.. вираз A_ij = (-1)^i+j * M_ij

В-сті визначників:

1. При трансформування визначника його значення не змінюється. Усі в-сті для рядків є в-стями для стовпців.

2. Якщо всі елементи будь-якого рядка=0, то визначник =0.

3. Якщо змінити місцями два рядки, то визначник змінює знак.

4. Якщо визначник має два одинкаових рядки, то він =0.

5. Якщо елементи будь-якого рядка пропорційні елементам другого рядка, то визначник = 0.

6. Якщо в будь-якому рядку додати елементи другого рядка помножені на число, то визначник не зміниться.

7. Якщо помножити якийсь рядок на константу а, то визначник також множиться на а.

8. Визначник трикутної матриці = добутку елементів на діагоналі.

4. Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці.

Матриця А^-1 наз.. оберненою до матриці А, якщо: А^-1 *А=А* А^-1 =Е.

Е – одинична матриця(по головній діагоналі одиниці, решта - нулі).

Умова існування А^-1 : detA≠0

Обернена матриця:

Алгоритм знаходження А^-1 :

1. Знайти detA, зробити висновок.

2. Знайти алгебраїсні доповнення елементів матриці А: А_ij

3. Записати матрицю (А_ij)

4. Використовуючи формулу записати

5. Зробити перевірку ( )