1. Модель «Попит - пропозиція»

Одна з найпростіших систем одночасних рівнянь використовується при моделюванні попиту-пропозиції в ринковій економіці. У цьому випадку в припущенні, що попит Q^D і пропозиція Q^S у момент часу t є лінійними функціями від ціни Р в один і той же момент часу, можна отримати наступну систему:

Функція попиту: q_t^D = α₀ + α₁ р_t + u_t1, α₁ < 0, (1₁)

Функція пропозиції: q_t ^S = β₀ + β₁ р_t + u_{t 2}, β₁ > 0, (1₂)

Умова рівноваги: q_t^D = q_t ^S. (1₃)

Наявність випадкових відхилень у даних моделях пов'язана в першу чергу з відсутністю ряду важливих пояснюючих змінних (доходу, цін супутніх товарів, смаків, очікувань, ціни ресурсів, податків тощо). Зміна одного із цих факторів може відобразитися на моделі. Наприклад, ріст доходу споживачів може зрушити криву попиту нагору (рис.14). Це призведе до зміни рівноважної ціни й рівноважної кількості.

Рис. 16

Модель (1) може бути вдосконалена. Наприклад, якщо до функції попиту додати дохід споживачів Y, то одержимо систему (2):

Функція попиту: q_t^D = α₀ + α₁ р_t + α₂ у_t + u_t1, α₁ < 0, (2₁)

Функція пропозиції: q_t ^S = β₀ + β₁ р_t + u_{t 2}, β₁ > 0, (2₂)

Умова рівноваги: q^D = q^s. (2₃)

2. Модель формування доходів Кейнса

Найпростіша модель даного типу в припущенні, що розглядається закрита економіка без державних видатків, має вид :

Функція споживання: c_t = β₀ + β₁ у_t + u_t (З₁)

Макроекономічна тотожність: у_t = c_t + і_t (3₂)

Тут Y, С, I характеризують сукупний випуск, обсяги споживання та інвестицій відповідно (y_t, c_t, i_t - значення цих змінних у момент часу t).

3. Моделі is-lm

Однією з можливих нестохастичних форм моделі IS (рівноваги на ринку товарів) є наступна модель: Функція споживання: c_t = β₀ + β₁ у_{(d )t} , (4₁)

Функція податків: τ_t = α₀ + α_{1 ·} у_t , (4₂)

Функція інвестицій: і_t = γ₀ + γ_1·r_t, (4₃)

Розташований дохід: у_{(d )t} = у _t - τ_t , (4₄)

Державні видатки: g_t = , (4₅)

Макроекономічна тотожність: y_t = c_t + і_t + g_t. (4_б),

де y_t , c_t , i_t , g_t , τ_t , у_{(d )t} , r_t - значення в момент часу t національного доходу ( Y ), споживання (С), очікуваного обсягу чистих інвестицій (І), державних видатків (G, у цьому випадку G = = const), обсягу податків ( Т ), наявного доходу (Y_d), процентної ставки ( r).

Підставляючи (4₂) і (4₄) до (4₁). Потім результуюче співвідношення, а також (4з) і (4₅) підставимо у (4_б). Маємо y_t = π_о + π_1· r_t (5)

де ,

Формула (5) є рівнянням лінії IS, що задає таке співвідношення між процентною ставкою й рівнем доходу, при якому ринок товарів перебуває в рівновазі.

Рівняння лінії LM (лінії рівноваги на ринку грошей) задає таке співвідношення між процентною ставкою й рівнем доходу, при якому попит на гроші дорівнює їхній пропозиції. Одна з нестохастичних форм даної моделі має вигляд:

Функція попиту на гроші: M_t^D = а + by_t - cr_t, (6₁) Функція пропозиції грошей: M_t^S = (6₂)

Умова рівноваги: M_t^D = M_t^S. (6₃)

Тоді співвідношення системи (б₁) можна представити у вигляді y_t = λ₀ + ^,λ₁· + λ₂r_t. (7)

Тут λ₀= - а/b, λ₁·= l/b, λ₂· = c/b.

Співвідношення (7) відоме як рівняння LM. Модель IS -LM представлена на рис. 15.

Рис. 17

Точка перетину даних ліній визначає співвідношення між процентною ставкою й рівнем доходу, при якому обидва ринки перебувають у стані рівноваги. Ця точка знаходиться із розв’язання системи рівнянь (5) і (7).