Билет 3. Вопрос 1.

Гамильто́нова меха́ника является переформулировкой классической механики. Была создана в 1833 Уильямом Гамильтоном. Она возникла из лагранжевой механики, другой формулировки классической механики, введённойЛагранжем в 1788. Гамильтонова механика может быть сформулирована без привлечения лагранжевой механики с использованием симплектических многообразий.

Переформулировка лагранжевой механики

Начинаем с лагранжевой механики, уравнения движения в которой основаны на обобщённых координатах

 или  , или, совсем сокращенно   - подразумевающее весь набор координат, если их больше одной,

и соответствующих обобщённых скоростях

 или  , или совсем сокращенно   - подразумевающее весь набор обобщенных скоростей.

Лагранжиан запишется в виде

, означающем 

с   представляющими в краткой записи все   координат и   скоростей. Гамильтонова механика ставит своей целью заменять обобщённые скорости обобщёнными переменными импульса, также известными как сопряжённые импульсы. Таким образом можно упростить определённые системы, например, в квантовой механике, которая иначе была бы ещё более сложной.

Для каждой обобщённой скорости существует соответствующий ей обобщённый импульс, определённый как

.

В декартовых координатах обобщённые импульсы — это физические линейные импульсы. В полярных координатах обобщённый импульс, соответствующий угловой скорости — физический угловой момент. Для произвольного выбора обобщённых координат трудно получить интуитивную интерпретацию сопряжённых этим координатам импульсов или угадать их выражение, не используя прямо приведённую выше формулу.

• Впрочем, если какая-то координата оказалась циклической, то есть если функция Лагранжа от неё не зависит, а зависит только от её производной по времени, то сопряжённый ей импульс является интегралом движения (сохраняется во времени), что несколько проясняет смысл обобщённых импульсов. Полезно также заметить, что вообще именно временная производная обобщённого импульса является одним из слагаемых уравнения Лагранжа:  .

В этой формулировке, зависящей от выбора системы координат, не слишком очевиден тот факт, что различные обобщённые координаты являются в действительности не чем иным, как различными координатизациями одного и того же симплектического многообразия.

Функция Гамильтона — преобразование Лежандра лагранжиана:

.

Если уравнения преобразования, определяющие обобщённые координаты, независимы от  , можно показать, что   равен полной энергии:  .

Полный дифференциал гамильтониана запишется в виде:

Подставляя предыдущее определение сопряжённых импульсов в это уравнение и сравнивая коэффициенты, мы получаем уравнения движения гамильтоновой механики, известные как канонические уравнения Гамильтона:

Уравнения Гамильтона представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка, и, таким образом, их легче решать, чем уравнения Лагранжа, которые являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Однако шаги, приводящие к уравнениям движения, более трудоёмки, чем в лагранжевой механике — начиная с обобщённых координат и функции Лагранжа, мы должны вычислить гамильтониан, выразить каждую обобщённую скорость в терминах сопряжённых импульсов и заменить обобщённые скорости в гамильтониане сопряжёнными импульсами. В целом, есть небольшой выигрыш в работе от решения проблемы в гамильтоновом, а не в лагранжевом формализме, хотя в конечном счёте это приводит к тем же решениям, что и лагранжева механика и законы движения Ньютона.

Основное предназначение гамильтонова подхода — то, что он обеспечивает основу для более фундаментальных результатов в классической механике.