2. Завдання у MathCad

Для захисту електричних ланцюгів від перевантаження використовують плавкі запобіжники. Процес нагріву плавкого елементу до його руйнування описується рівнянням теплового балансу

де c₁ і m₁– питома теплоємність і маса плавкого елементу, c₁ і m₁– питома теплоємність середовища, в якій знаходиться елемент, Т – температура елемента, t - час, α - коефіцієнт тепловіддачі, S - поверхня охолодження, Т_с – температура навколишнього середовища, і – струм, що проходить через елемент, R₀ - електричний опір елементу при Т₀ = 293К, β - температурний коефіцієнт опору.

Ефективність захисту залежить від того, наскільки швидко при перевантаженні плавкий елемент запобіжника розірве електричне коло.

Розрахуйте залежність при початковій умові Т(t = 0) = Т_с = 293К. Доданок в рівнянні дорівнюватиме нулю. Визначте час, за який перегорає запобіжник, якщо температура плавління його робочого елементу дорівнює 1373К.

Параметр	18-1	18-2	18-3
c₁m₁, Дж/К	1,7 10^-4	5 10^-4	3,3 10^-4
αS, Вт/К	3 10^-5	3,5 10^-5	4 10^-5
R₀, Ом	0,04	0,014	0,017
i, А	1	2	2,5
β, 1/К	0,05	0,06	0,05

3.Рішення у MathCad

Вирішення більшості завдань після відповідних спрощень зводиться до вирішення рівнянь, що містять шукану функцію або декілька функцій, залежних від одного або декількох аргументів, самі ці аргументи і похідні різних порядків від шуканих функцій, так званих диференціальних[3]. Диференціальне рівняння, отримане в результаті дослідження якого-небудь реального процесу або явища, називають диференціальною моделлю цього явища або процесу. Ми розглядаємо лише моделі, що описуються звичайними диференціальними рівняннями, тобто рівняннями, в яких невідомі функції залежать лише від однієї змінної.

У класичному аналізі розроблено немало прийомів знаходження вирішень диференціальних рівнянь через елементарні функції. Тим часом при вирішенні практичних задач задачці методи виявляються, як правило, або зовсім даремними, або їх рішення пов'язане з недопустимими затратамизусиллями і часом. Для вирішення прикладних задач задачстворені методи наближеного вирішення диференціальних рівнянь, одним з яких і є метод Рунге-Кутта, який розглядатиметься нижче.

У рішенні використана функція rkfixed[1].Вона обчислює рішення системи, яка містить звичайні диференційні рівняння першого порядку методом Рунге-Кутта з фіксованим кроком інтегрування. Звернення до функції виконується наступним чином: , де Х - вихідні дані, повертаються функцією, V - вектор початкових значень, розмірність якого повинна відповідати порядку розв'язуваної системи,t₀- початкове значення аргументу, Т - верхня межа зміни аргументу, N - кількість розраховуються точок на інтервалі відt₀ до Т, D - ім'я функції, яка описує праву частину системи диференціальних рівнянь.

З наведеного рішення видно, як записується функціяD(t,V) у документі MathCAD. Ім'я залежної змінноїV повинно співпадати з іменами та її компонент, присутніх у правій частині формули D(t,V). Самі диференціальні рівняння в попередньо приводяться до канонічного вигляду так, щоб у лівій частині кожного з них знаходилася тільки похідна по одній із компонент V. Першим у системі має записуватися рівняння, визначене для похідної від нульової компоненти V, тобто від V₂, потім - від V₃ і так далі [5]. Слід зазначити, що відлік індексів у MathCAD визначається параметром ORIGIN і зазвичай по замовчуванню починається з нуля. Функція rkfixed повертає знайдене рішення у вигляді двомірного масиву. Результат рішення методом Рунге-Кутта показаний графічно в роботі.

ВИСНОВКИ

В даній роботі розглянуто моделювання залежності нагріву елементу плавкого запобіжника від часу. Така залежність описується диференціальним рівнянням:

В MathCAD такий тип рівнянь розв’язується методом Рунге – Кутта. Таким чином початкове рівняння було приведено до рівняння: