- •1.1 Предмет математичної фізики. Диференціальні рівняння з частинними похідними
- •1.2 Зведення до канонічного виду диференціального рівняння другого порядку
- •Контрольні запитання
- •2.1 Поздовжні коливання стержня. Виведення хвильового рівняння
- •2.2 Постановка задачі математичної фізики про поздовжні коливання стержня
- •Контрольні запитання
- •3.1 Поперечні коливання скінченної струни. Виведен-ня хвильового рівняння
- •3.2 Постановка задачі про поперечні коливання скінченної струни
- •3.3 Постановка задачі про поперечні коливання нескінченної струни
- •Контрольні запитання
- •4.1 Поперечні коливання нескінченної струни
- •4.2 Поперечні коливання скінченної струни
- •4.3 Фізичний зміст розв’язку задачі про поперечні коливання
- •4.4 Вимушені коливання струни
- •Контрольні запитання
- •5.1 Метод Фур’є для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня
- •Контрольні запитання
- •6.1 Задача про розповсюдження тепла. Рівняння теплопровідності
- •6.2 Постановка задачі теплопровідності
- •6.3 Метод Фур’є для розв’язування задачі теплопровідності
- •6.4 Стаціонарні процеси. Рівняння Лапласа
- •6.5 Задача Діріхле
- •6.6 Задача Неймана
- •6.7 Мішана задача
- •6.8 Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
- •6.9 Задача діріхле для круга
- •Контрольні запитання
- •7.1 Застосування операційного числення при розв’язуванні диференціальних рівнянь з частинними похідними
- •6) Властивість диференціювання зображення
- •7) Властивість інтегрування зображення
- •7.2 Зображення згортки
- •7.3 Схема побудови розв’язку диференційного рівняння з частинними похідними
- •Контрольні запитання
6.6 Задача Неймана
задача Неймана (друга крайова задача) формулюється так: знайти функцію яка задовольняє всередині замкненої поверхні рівняння Лапласа та її похідна по напрямку зовнішньої нормалі у кожній точці М поверхні набуває заданих значень:
К.У. (6.41)
Нагадуємо, що похідна пов’язана з потоком тепла через поверхню . Аналогічно формулюється задача Неймана для двовимірного та одновимірного випадків.
6.7 Мішана задача
Мішана задача (третя крайова задача) формулюється так: знайти функцію яка задовольняє всередині замкненої поверхні рівняння Лапласа, а у кожній точці М поверхні виконується умова:
К.У. (6.42)
де функції та є заданими. Цю задачу ще назива-
ють задачею з косою похідною.
6.8 Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
Нехай – гармонічна в деякій області функція трьох змінних. Тоді для неї рівняння Лапласа має вигляд:
(6.43)
Введемо у розгляд циліндричні координати які пов’язані з декартовими координатами формулами
, (6.44)
Звідси зворотній зв’язок:
(6.45)
Щоб записати рівняння Лапласа в циліндричних корди-натах, знайдемо відповідні частинні похідні функції , використовуючи формули диференціювання складеної функ-ції декількох змінних:
Враховуючи, що:
отримаємо:
(6.46)
Це і є рівняння Лапласа в циліндричних координатах.
Якщо функція U не залежить від z, а лише від x та y, то рівняння Лапласа буде мати вигляд
(6.47)
де r та – полярні координати на площині. Знайдене рівнян-
ня є рівнянням Лапласа в полярних координатах.
Приклад 6.3 Знайдемо розв’язок рівняння Лапласа в області D, що обмежена двома колами та якщо значення шуканої функції на колах:
К.У.
де та – сталі.
Це може бути, наприклад, задача про стаціонарний розподіл температури у кільці між двома колами, якщо на самих колах температура задана.
Розв’язуємо задачу у полярних координатах. Очевидно, шукана функція не залежить від кута . Тоді рівняння Лапласа набуває простішого вигляду:
Це звичайне диференціальне рівняння другого порядку, яке допускає пониження порядку. Інтегруючи його, знайдемо
Визначимо та із крайових умов:
звідси
остаточно отримаємо :
6.9 Задача діріхле для круга
Нехай у площині хоу є круг радіуса R з центром в початку координат. на його колі задана деяка функція де – полярний кут. Треба знайти функцію неперервну у крузі, яка задовольняє всередині круга рівнянню Лапласа [1]. Постановка задачі в полярних координатах має вигляд:
, ,
К.У.
Припустимо, що можна розкласти в ряд Фур’є на . Перепишемо рівняння Лапласа, домноживши його на :
Будемо шукати розв’язок за методом Фур’є, подаючи функцію у вигляді добутку двох функцій, кожна з яких залежить від однієї змінної:
(6.48)
Підставляючи її в рівняння та враховуючи, що
та отримаємо:
Відокремимо змінні:
Отже, рівняння Лапласа розпалося на два диференціаль-них рівняння:
(І)
. (ІІ)
З рівняння ( І ) маємо
k2+λ=0,
.
Тоді (6.49)
Оскільки задана область є кругом, то при збільшенні кута на 2π точка M(r,φ) повернеться у своє початкове положен-ня. Отже, функція Ф(φ) – 2π-періодична, а це означає, що число має бути цілим: або
Тоді отримаємо множину функцій:
,
Коефіцієнти та залишились невизначеними. Розглянемо рівняння (ІІ):
Розв’язок цього рівняння будемо шукати у вигляді , де – невідомий параметр. Підставимо цю функ-цію у рівняння:
(6.50)
Поділивши на , отримаємо:
Зазначимо, що – сторонній корінь, оскільки при функція Отже, Остаточно маємо:
(6.51)
Завдяки лінійності та однорідності рівняння Лапласа сума частинних розв’язків:
(6.52)
буде також розв’язком рівняння Лапласа. Для знаходження коефіцієнтів та використаємо крайову умову:
Це є ряд Фур’є для функції з коефіцієнтами та
які визначаються за формулами Фур’є:
Звідси:
(6.53)
Таким чином, розв’язком задачі Діріхле у крузі радіуса R є функція (6.52) з коефіцієнтами (6.53).