3.13.3Отношение сигнала помехи на прмере гауссовских помех.

Обозначенное отношение сигналов помехи по мощности на входе типового звена q₀, а соответствующее отклонение на выходе первого, второго, третьего элементов через q₁, q₂, q₃.Таким образом, величина q₃ определяет отношение сигнал-помеха на выходе типового звена. При гауссовской помехе, поступающей вместе с сигналом на вход типового звена ФВЧ для обеспечения максимального отношения на выходе должен быть выполнен в виде линейного оптимального фильтра с характеристиками, согласованными с характеристиками сигнала. Если полоса оптимального фильтра существенно меньше ширины спектра помехи, то помеху рассматривают как гауссовский белый шум и отношение сигнал-помеха на выходе ФВЧ единого сигнала определяют соотношением: g=2Э₁/N₀, где Э₁- энергия единичного сигнала; N₀- спектральная плотность шума.

С выхода фильтра 1 на вход амплитудного детектора поступает аддитивная смесь сигнала S₁ и помехи x:

Y=S+x.

При квадратном детекторе, когда помеха x=x(t) имеет характер гауссовского шума, отношение сигнала к помехе по мощности q₂ на выходе детектора будет следующей: q₂=k_mq₁²/(1+2q₁), где k_m- коэффициент, зависящий от функции распределения сигнала, q₁-отношение сигнал-помеха по мощности на входе детектора, т.е. на выходе высокочастотного фильтра 1.

При сильном сигнале, когда q₁ 1 отношение сигнал- помеха: q₂=k_mq₁/2.

При слабом сигнале, когда q₁ 1 отношение сигнал-помеха: q₂=k_mq₁².

Значение коэффициента:

k_m= ,

где M{A(t)⁴}- математическое ожидание или среднее значение,

A(t)- огибающая сигнала, т.е. его моделирующая функция. Для постоянного сигнала A(t)=A₀=const.

Для гармонического немоделирующего сигнала k_m=1.

4Основные понятия теории обнаружения сигнала

4.1Проверка статистических гипотез.

При рассмотрении задач по обнаружению сигналов одним из наиболее удобных методов является метод статистических гипотез. Предположим, что ведется наблюдение некоторого случайного события, которое может произойти вследствие одной из двух взаимоисключающих причин А₀ и А₁.

Гипотезу о том, что событие обусловлено причиной А₀ обозначим М₀. Гипотезу о том, что событие обусловлено причиной А₁обозначим М₁. Для проведения исследований требуется предложить решающие правила, по которым будет производиться выбор М₀ и М₁. Предположим , что для события А₀ известен вероятный закон Р₀, соответствующей плотности вероятности ω₀, а для события А₁ соответствующий закон Р₁ и ω₁. Можно назвать гипотезу М₀-нулевой гипотезой, а М₁- альтернативной, вследствие того, что М₁ отрицает М₀. При принятии решения об этом выборе можно допустить два рода ошибок. Возможны ошибки, состоящие в отклонении правильной нулевой гипотезы, такие ошибки называются ошибками первого рода, также можно признать правильной ложную гипотезу М₀-ошибка второго рода. При обнаружении сигнала в помехах может иметь место два основных случая: нет сигнала и есть сигнал. Причем первый случай соответствует гипотезе М₀, второй- М₁. Рассмотрим случаи обнаружения детерминированного сигнала s(t) в аддитивном шуме, имеющем нормальное распределение. Ошибки первого рода будут возникать в случае принятия решения о том, что есть сигнал при верной гипотезе М₀, предполагающей, что сигнала нет. Эту ошибку называют ложным обнаружением. Ошибке второго рода соответствует случай принятия решения об отсутствии сигнала в то время, как он естественно не обнаружен в помехах. Эту ошибку называют пропуском сигнала, здесь ошибка возникает вследствие того, что признается правильной ложная гипотеза М₀. Ошибки при обнаружении сигнала представляют собой случайные события, которые можно охарактеризовать их вероятностью.

Вероятность ошибок первого рода обозначим через α, а второго рода через β. Вероятность пропуска сигнала β непосредственно связано с вероятностью правильного обнаружения D=1-β. В технических системах для принятия решения о наличии или отсутствии сигнала применяются пороговые устройства, с некоторым порогом U_c, если U в приемном устройстве, подаваемое на пороговое, больше U_c (U U_c) , то сигнал есть. Если

U U_c, то сигнала нет. Существует некоторая отличная от 0 вероятность того, что при отсутствии сигнала уровень порога будет больше за счет шумов.

Это соответствует вероятности ложного обнаружения (ошибка первого рода).

α= ,

где ω_n(u) - плотность вероятности напряжения шумов.

Для вероятности пропуска сигнала (ошибка второго рода):

β=1-

Вероятность правильного обнаружения:

D=1-β= ;

где ω_sn(u)- плотность вероятности смеси помехи и сигнала.