Сиплексный метод оптимизации

Симплексный метод оптимизации, предложенный В Спиндлеем и др. в 1962 году характеризуется простотой и высокой эффективностью и нашел свое применение в различных отраслях науки и техники. Он не требует вы­числения производных, эффективен для обнаружения условных и безусловных экстремумов и особенно эффективен при большом количестве переменных. В центре метода находится понятие симплекса. Симплексом называется простейшая выпуклая геометрическая фигура, образованная множеством ( к+1) называемых точек в к-мерном пространстве и обладающая минимальным количеством вершин. Вершинами называются точки, образующие симп­лекс. В пространстве нулевой размерности симплекс представляет собой точку, в пространстве размерности 1, представляющем собой прямую-отрезок, в двумерном пространстве-треугольник, в трехмерном пространстве- пи­рамиду. Сиплекс называется регулярным, если расстояния между его вершинами равны, в двумерном пространс­тве-это равносторонний треугольник, в трехмерном пространстве- тетраэдр, в четырехмерном пространстве-ги­пертетраэдр. При оптимизации используется основное свойство симплекса-из любого симплексаможно, отбросив одну из вершин и используя оставшуюся грань, получить новый симплекс, добавив всего одну точку. Поиск оп­тимума симплекс-методом осуществляется последовательным перемещением симплексов с помощью зеркального от­ражения вершин, имеющих наихудшее значение параметра оптимизации.

В настоящее время существует несколько модификаций метода, рассмотрим основной из них, который в на­ибольшей степени подходит для экспериментальной оптимизации, если необходимо найти значения переменных х х х х, при которых достигается максимум критерия y.

1. Выбирается исходная точка в пространстве заданных переменных, которая принимается за центр симп­лекса. Выбор исходной точки сводится к определению значений переменных х₁ х₂ х_n , которые представляют собой исходную точку в заданном к-мерном пространстве. Выбор такой точки не поддается никаким формальным прави­лам и производится исследователем на основе имеющейся в его распоряжении информации, его опыта и интуи­ции. исходная точка должна быть как можно ближе к оптимуму, и если она представляет собой оптимум, то дальнейшие операции теряют смысл, что, впрочем, может быть чисто случайно и поэтому наблюдается весьма редко, а в общем сучае исходная точка находится на каком-то расстоянии от оптимума и величина этого расс­тояния неизвестна.

2. Выбирается величина интервала варьирования по каждому фактору х₁ х₂.. х_n . При выборе интервала варьирования факторов необходимо учитывать, что уменьшение интервалов варьирования увеличивает точность определения оптимума, но требует большего количества экспериментов или вычислений, а увеличение интерва­лов действует в противоположном направлении, поэтому необходимо выбирать эти величины исходя из компро­мисса между этими двумя требованиями.

3. По таблицам координат вершин симплекса, которую можно рассматривать, как план эксперимента в ко­дированных переменных аналогично тому, как это делается в методологии планируемого эксперимента, определя­ется их значения.

4. Осуществляется отражение худшей вершины симплекса, то есть отражается вершина, где значение параметра y наименьшее среди всех вершин симплекса в случае, если задача состоит в определении точки, где значение параметра y достигает максимума или отражается вершина с максимальным значением y, если задача состоит в определении точки в факторном пространстве, где параметр y достигает минимума.

5. Окончание процесса поиска оптимума симплекс методом может быть сформулировано на основе следующих соображений. Во-первых, движение симплекса не имеет смысла продолжать, если длительное перемещение симплекса не приводит к улучшению параметра y, чаще всего это происходит при вращении симплекса вокруг лучшей точки. Такое явление вращения симплекса называется зацикливанием. Во-вторых, если разница в значениях параметра оптимиза­ции худшей и лучшей из вершин симплекса находится в пределах погрешности измерения параметра y, то также процесс поиска оптимума заканчивается.

Преимущества метода: метод очень прост и подходит как для аналитической так и для экспериментальной оптимизации. - экономичность, ввиду того, что количество экспериментов ( циклов) равно к+1

Недостатки метода. - недостаточная точность определения положения оптимума.

Метод Гауса - Зейделя

Метод Гауса-Зейделя, или метод поочередного изменения координат является простейшим методом оптими­зации и широко применяется в инженерной практике. при оптимизации этим методом осуществляется последова­тельное продвижение осуществляется с помощью поочередного варьирования каждым параметром до достижения частного экстремума параметра оптимизации. алгоритм следующий:

1-выбирается исходная точка и шаг варьирования и начинается варьирование в направлении оси х

2- производится сравнение полученных значений параметра у₁ у₂ и при поиске максимума выбирается нап­равление возрастания параметра у ( при поиске минимума- направление убывания)

Метод экспертного оценивания

Метод экспертного оценивания - это комплекс логических и математических процедур, направленных на получение от специалистов-экспертов информации, ее анализ и обобщение с целью выбора рациональных решений. Применение метода в данной работе связано с отсутствием объективной и полной информации об особенностях течения расплава в полости литейной формы, действия сложного комплекса регулируемых и нерегулируемых факторов, что, в свою очередь, затрудняет решение задачи по выбору типа литниковой системы с целью устранения наиболее существенных причин появления различных дефектов в отливке.

Для получения необходимой новой информации из имеющейся исходной формируется группа экспертов, которые на основе собственных теоретических знаний и производственного опыта, проводят профессионально-логический анализ вопроса. Суждения обрабатываются математически, в результате чего получаются экспертные оценки.

Основным критерием подбора группы экспертов испольхуется их компетентность. Наиболее распространенным методом оценки компетентности экспертов, является метод самооценки, когда компетентность оценивается коэффициентом К, который определялся на основе суждений экспертов о степени своей информативности по решаемой проблеме (К_и) и степени аргументации своих мнений (К_а) / К = 0,5(К_и + К_а), (1)

Коэффициент информативности получают на основе самооценки эксперта по 10-балльной шкале К_и = 0,1Х_и, где Х_и - балл, выставленный экспертом. Для определения коэффициента аргументации экспертам предлагается заполнить специальную анкету, в которой приведены источники аргументации и их оценки по соответствующим градациям: В - высокий, С - средний, Н - низкий. Затем отметки эксперта сравниваются с эталонной шкалой, и коэффициент К_а вычисляется суммированием баллов, по позициям, отмеченным экспертами.

Для всестороннего анализа проблемы, а также для избежания оказания давления в группе экспертов применяется письменный опрос с помощью опросного листа - анкеты. Экспертам предлагается проранжировать оцениваемые элементы в порядке убывания их предпочтительности путем присвоения им ранга в виде натурального числа. Если имеется j = 1...,n элементов, то ранг находится в пределах [1,n].