Лекція розв’язання диференціальних рівнянь першого та другого порядку диференціювання

• Похідна;

• числове й символьне диференціювання;

• застосування похідних при розрахунку продуктивності праці, граничних витрат виробництва, еластичності, при аналізі виробничих функцій.

Багато задач математики і фізики описуються диференціальними рівняннями виду у'(х)=f(х,у). Нелінійні одиночні диференціальні рівняння і системи таких рівнянь, як правило не мають аналітичних методів рішення, і тут особливо важлива можливість їхнього розв'язання чисельними методами. MathCAD має розвиті засоби для чисельного розв'язання систем диференціальних рівнянь. У більшості випадків бажане представлення рішень у графічному вигляді, що також дозволяє легко реалізувати система MathCAD.

1. Диференціювання

Для обчислення похідної достатньо поставити функцію під знак

Цей знак уводиться або з панелі математичного аналізу, або за допомогою клавіші ? (англ. мовою).

2. Числове диференціювання

Для числового диференціювання:

• спочатку присвойте значення аргументу;

• потім уставте знак похідної та функцію, що диференціюється, й натисніть =.

3. Символьне диференціювання

Для символьного диференціювання можна запропонувати декілька способів:

А) уставити знак диференціювання та вираз, що диференціюється, і натиснути знак символьної рівності  (або з панелі інструментів Символіка, або за допомогою клавіатури: Ctrl+.);

Б) уставити знак диференціювання і вираз, що диференціюється, виділити увесь вираз (синім кутком) і вибрати меню Символіка / Обчислення / Символьно (або комбінацію клавіш Shift+F9);

В) надрукувати лише вираз, що диференціюється, виділити змінну, за якою диференціюємо, і вибрати меню Символіка / Змінна / Диференціювати.

Перший спосіб відрізняється від двох наступних тим, що вони вразливі до присвоєння значення змінній, що диференціюється. Якщо перед диференціюванням визначити значення змінної, то отримаємо числове значення похідної:

Цього ж результату можна досягти, використовуючи звичайний знак рівності:

Перевіримо:

Другий і третій способи видають похідну в символьному вигляді, навіть якщо перед цим змінній, що диференціюється, було присвоєне значення. Наприклад, присвоїмо х:=10 і викличемо команду Символіка / Обчислення / Символьно для виділеного виразу :

Приклад. Обчислити значення похідної третього порядку функції y(x)=sin⁵ x + ln x у точках х=3 та х=10. Побудувати графіки функції та її третьої похідної.

4. Диференціювання в частинних похідних

Аналогічно здійснюється диференціювання в частинних похідних. Для цього слід в знаку диференціювання зазначити ту зі змінних, за якою диференціюємо:

5. Застосування похідних при Розв’язаннІ економічних задач

Поняття похідної дуже широко застосовується в економічних розрахунках та задачах. Так, похідна дозволяє визначити продуктивність праці, проаналізувати різні виробничі функції або визначити еластичність чинників при аналізі функцій попиту та споживання. Крім того, за допомогою диференціювання розв’язується величезний клас оптимізаційних задач.